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Montrer que transposée-de-A x A est inversible

Montrer que (transposée de A)(A) est inversible si A a ses colonnes linéairement indépendantes. Créé par Sal Khan.

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donc mes donc j'ai une matrice acquis soit une matrice avec une ligne et cas colonnes donc je vais écrire les colonnes de as donc à 1 à 2 ça ce sont les vecteurs colonnes jusqu'à ak nous voilà ma maîtrise pas et ne ce n'est pas n'importe quel matrice car ces colonnes sont linéairement indépendante cole colonnes linéairement linéairement indépendante indépendante ça c'est une c'est mon hypothèse de départ sur cette matrice là et c'est important on le verra un peu plus tard donc qu'est-ce que ça veut dire ici eh bien ça veut dire que eh bien si j'ai l'équation 1 x le vecteur x est égal aux vecteurs nul est bien la seule solution de cette équation la seule solution ça veut dire que et bien x le vectrix c'est le lecteur nul et pourquoi et bien parce que cette équation là qu'est ce que ça veut dire eh bien si je multiplie ici la matrice à part un vecteur x ça va être quoi ça va être bien ma colonne ici à 1 x le premier coefficient de mon vecteur plus le deuxième coefficient bon vecteur la deux et la deuxième colonne de matrix et c'est derek cetera plus x car un quart voilà est égal à zéro donc ça c'est cette équation là est équivalente à la combinaison linéaire des colonnes est égal à zéro et comme eh bien je sais que les colonnes sont linéairement indépendante la seule solution de cette équation là ça va bien être et gagnent x est égal à zéro donc ça c'est une révision de l'indépendance linéaire tel qu'on l'a vu il ya déjà pas mal de temps donc ici on ne sait pas si aet inversible parce que eh bien on ne sait pas si aycard est tout simplement d'accord parce que si a été carrée bien on aurait vers sibilité de suite mais ici on ne sait pas puisqu'on n'a pas défini que caa était égal à n est donc ce qu'on va faire c'est on va essayer de construire une matrice inversible à partir de à et donc on va prendre le produit de la transposer de la avec la matrice a donc ça qu'est ce que c'est bien la transposer des as et une matrice car fois n donc qu'à ligne n colonnes donc à j'ai dit que c'était une matrice n ligne k colonnes et donc ça veut dire que la dimension du produit de la transposer de la parra ça va être qu'à fois car en d'autres termes ça va être une matrice carre à carre dimension et la question qu'on va se poser 6 6 7 cette matrice l'a formé par à transposer doha et inversible donc qu'est-ce qui nous suffit de montrer en fait ici il nous suffit de montrer qu'en fait tout les colonnes de du produit de la transposer de à parra sont indépendantes et on leur a montré que eh bien ce produit là est inversée pourquoi il vient risque ici on a affaire à une matrice quart ray donc pour montrer que la transposer de à part à est inversée il nous suffit de montrer que toutes les colonnes sont indépendantes parce que ici j'ai à faire donc à une matrix matrix carré et donc si j'ajoute que les colonnes sont indépendantes un dépendantes eh bien ça ça va me dire que à t ha et inversible pourquoi parce que si les colonnes sont indépendantes donc si on n'a que les colonnes sont indépendantes qu'est-ce que ça ça va faire eh bien ça va faire que la forme échelonné de ea va avoir et bien qu'à colonnes pivot car colonnes pivot d'accord donc qu'à colonne pivot et donc qu'a colonnes linéairement indépendante donc maintenant ce qu'on va prouver c'est que les colonnes et bien de de ce produit là de la transposer de à part à son linéairement indépendant et donc je vais poser je vais poser que j'ai un vecteur v qui appartient et bien au noyau de du produit de la transposer de à part et donc ça qu'est ce que ça veut dire eh bien ça veut dire que si je multiplie à transposer de à parra par v et bien ça c'est égal à zéro voilà ce que ça veut dire donc maintenant ce que je vais ici faire c'est que je vais prendre je vais multiplier de chaque côté c'est l'équation par la transposer de v donc ce que je vais faire c'est que je vais apprendre transposer devait donc la transposer du vecteur vais multiplier et bien par le côté gauche de l'équation est donc multiplié par le côté ici droit de l'équation alors ici qu'est ce que je vais avoir de ce côté là de ce côté droit est bien ici j'ai un vecteur donc j'ai la transposer d'un vecteur v x le vecteur 0 nous avons à dire que chacun des coefficients du vecteur v vont être multiplié par 0 et je vais sommet le tout donc en fait ça c'est ça veut dire que c'est égal et bien au scanner 00 scalaires d'accord donc on va voir pourquoi c'est intéressant tu vas voir pourquoi c'est si c'est bien le scanner là tout à l'heure ensuite ici ici si je réfléchis un petit peu à qu'est ce que c'est que cette matrice là et bien cette matrice là ça c'est la même chose qu'eux et bien la transposer de à part v d'accord puisque ça on a déjà vu que eh bien quand on prenait ici et bien quand j'ai par exemple b transposé à transposer de b x la transposer de haas est égal à quoi aux produits de ab en prenant la transposer du produit de ab donc ça j'ai exactement appliquer cette relation ici donc qu'est ce que je fais ici donc j'ai le produit ares v transposer que je vais oublier la la transposer du produit à part v x à part v est égal à zéro et donc là on comprend mieux pourquoi cette égal aux héros scalaires pourquoi et bien parce ici et bien j'ai un vecteur j'ai un vecteur donné j'ai pris ça transposer d'accord puisque j'ai bien ici la mala produit d'une matrice et d'un vecteur est bien un vecteur donc j'allais faire un vecteur donné que j'ai pu j'ai pris ça transposer et que j'ai multiplié ici par un autre vecteur qui est lui-même en l'occurrence mais donc gg cette égalité là et donc ça c'est quoi et bien c'était assez équivalent en fait aux produits scalaires donc c'est la même chose que si je prends à v produits scalaires 2 à v et ça c'est égal ici à 0 donc ça c'est équivalent encore une fois à quoi et bien c'est équivalent à la norme au carré donc la norme au carré est égal à zéro d'accord donc en d'autres termes pour que la norme au carré de ce produit à part v soit égal à zéro ça veut dire quoi ça veut dire que ici et bien v v et bien le vecteur nu et ça encore une fois cet équivalent à quoi c'était qu'il va l'en à ce que avaient soit égal ici au vecteur nul car la norme de tout ça est égal à zéro donc qu'est ce qu'on a ici qu'est ce qu'on a ici quelque chose quand même d'assez d'assez intéressant alors attends je vais face et savent que j'en ai plus besoin pour le moment donc ce qu'on vient me trouver ici c'est quoi on a vu que si v appartient donc au noyau de la transposer de apparat alors qu'est ce qu'on a eh bien on a v qui appartient et bien au noyau de parce que ça bien c'est exactement ça ça veut dire que v appartient au noyau de à parle pas juste définition est ce qu'on a vu ici c'était que est bien le seul le seul vecteur qui était dans l'air de a donc r2a le noyau de à c'était quoi c'était le vecteur nul et donc ça veut dire que le seul vecteur qui est dans le noyau de du produit de la transposer de à parra c'est aussi le vecteur nul donc ça veut dire quoi ça veut dire que si je reprends et bien la définition du noyau de à c'est-à-dire du noyau pardon de la transposer de apparat ça veut dire que ce produit ici est égal aux vecteurs nul d'accord et on a vu que là d'après ça la seule solution la seule solution c'est que et bien vie soit égal aux vecteurs nul et donc ça ça doit te rappeler quelque chose ici parce que c'est ce qu'on a vu c'est ce qu'on a vu ici au début qu'est ce que ça veut dire que la seule solution soit le vecteur nul ici ça veut dire que les colonnes de la transposer des apparats donc de cette matrice là sont linéairement linéairement indépendante voilà indépendante donc on à l'indépendance linéaire des colonnes de notre matrice carré qu'on a construite à partir de la transposer 2 1 et 2 a donc j'ai bien ma matrix donc est ce que j'ai ici donc j'ai une matrice un produit donc est ce que j'ai ici eh bien j'ai ici que la transposer de à parra est une matrice carrés dont les colonnes sont linéairement indépendante donc qu'est-ce que ça veut dire ça veut dire que la transposer de a à a et inversible inversible voilà donc ça c'est intéressant parce que j'ai commencé avec une matrice à qui n'était pas tout à fait quelconque parce que rappelle-toi que ici on avait les colonnes doivent être linéairement indépendance et une hypothèse importante ici donc j'ai une matrice à dans les colonnes sont linéairement indépendante alors eh bien je peux dire que le produit de sa transposer avec elle-même est un ver cible