Projections d'un vecteur dans le plan

salut et bienvenue dans la partie sur le mouvement en deux dimensions jusqu'à maintenant on était en une dimension et lorsqu'on s'intéresser aux mouvements on allait soit de droite à gauche ou alors on allait de haut en bas et maintenant on va ajouter une nouvelle dimension on va regarder les choses en deux dimensions autrement dit dans un plan et avant de commencer à s'intéresser à des exercices concrètement avec du mouvement je voudrais qu'on passe un petit peu de temps à penser aux vecteurs vecteurs et notamment leur représentation en deux dimensions donc sur un plan on va voir en particulier dans cette vidéo quelques opérations toute simple avec des vecteurs à savoir l'addition de deux vecteurs donc tu te souviens bien ce que c'est qu'un vecteur un vecteur c'est une flèche sur un plan qui est définie par une norme c'est à dire géométriquement sa longueur une direction la droite qui le porte et un sens c'est à dire l'endroit verrou pointe la flèche alors ici on a j'ai dessiné un vecteur a par exemple qu'on écrit comme ceci et je peux dessiner un autre vecteur le vecteur b comme ceci alors autre chose aussi le vecteur ça n'a pas vraiment beaucoup d'importance ou est ce qu on le dessine à partir du moment où il a la même norme la même direction et le même sens je peux dessiner le vecteur a aussi ici ou alors ici à partir du moment où il a la même norme même direction et même sens et le même vecteur tout ce que j'ai fait ici c'est faire des translations dans l'espace donc en particulier je vais pouvoir placer le vecteur b à un endroit précis par rapport au rectorat c'est à dire que je vais faire partir le vecteur b au niveau de l'arrivée du vecteur a donc je vais placer b ici comme ceux ci est pourquoi j'ai choisi de placer b à cet endroit particulier sais pas ce qui est en fait c'est comme ça qu'on va se représenter visuellement l'addition de deux vecteurs l'addition du vecteur a + b donc si je l'écris en toutes lettres a + b eh bien ça ça va donner un troisième vecteur le vecteur qu'on va appeler ses et les vecteurs c est bien ça va être le vecteur qui relie le point de départ de à au point d'art vdb ici dessinée en violet donc là pour l'instant c'est un point de vue très géométrique et visuel on verra dans quelques vidéos comment faire ce calcul de façon un peu plus analytique en considérant les coordonnées du vecteur est normalement j'espère que ça devrait avoir du sens que finalement l'addition de vecteurs ce soit une audition qui se passe comme ceux ci puisque finalement imagine que ces vecteurs a et b étaient des vecteurs déplacement eh bien tu te déplaces ray le long du vecteur as tu arriverais ici et ensuite déplacerait le long du vecteur b et tu arriverais ici est donc finalement le vecteur c représente un petit peu ton déplacement n'ont pas ton déplacement réel mettons déplacement on va dire à vol d'oiseau s'arrêter le parcours tu aurais fait si tu étais parti directement du point de départ at-on point d'arrivée par le chemin le plus court donc on va pouvoir utiliser cette idée de la somme de deux vecteurs pour pouvoir des composés n'importe quels vecteurs par exemple si je prends un vecteur x je vais appeler ce vecteur le vecteur x eh bien je vais pouvoir l'exprimer comme étant la somme de deux vecteurs selon comment je vais dessiner deux vecteurs je vais prendre par exemple ce vecteur la plus vecteur là ça va me donner x si je prends ce vecteur la plus ce vecteur là et bien j'ai encore x donc je vais pouvoir des composés n'importe quels vecteurs ans la somme de deux vecteurs que je peux choisir arbitrairement ou pas ici les je les ai choisis complètement arbitrairement mais on va s'intéresser un cas un peu particulier puisque les vecteurs finalement dans les problèmes qui vont nous intéresser ne seront que des outils pour pouvoir résoudre des problèmes physiques et donc je vais reprendre mon x mon vectrix là et je vais le décomposer en deux vecteurs particulier je vais prendre un vecteur horizontal est un vecteur verticale donc ici là j'ai un angle droit et d'ailleurs je peux même dessiné ce vecteur magenta ici un peu importe puisque comme on a dit le vecteur peut être d'y signer n'importe où tant qu'il a la même norme même direction et même sens et finalement je vais pouvoir dire que ces vecteurs vert et magenta sondés hector sont les composantes d'un vecteur x donc c'est là ici sa composante verticale jeu que je vais pouvoir appeler x v et en vert on à la composante horizontale x h et est il imagine bien que si j'ai tracé ces deux vecteurs c'est pas pour rien et bien parce que ça va nous permettre en général de représenter un vecteur dans un repère et leur père le plus classique que tu connais déjà c'est le repère orthonormé donc on va voir ici deux composantes qui vont être parallèle respectivement à l'acte des abscisses et à laax désordonnée et donc si j'écris l'expression gx qui est égal à x h + xv et donc je vais pouvoir des composés n'importe quels vecteurs comme étant la somme de deux vecteurs particulier à savoir un vecteur horizontal est un vecteur verticale bon et alors tu risques de me dire mais qu'est ce qu'on en fait maintenant de ces deux composantes une fois qu'on a pris hic c'est qu'on la décomposer en x h et xv et qu'est-ce qu'on en fait bon eh bien ça je vais essayer donc de te l'illustré avec un exemple très simple tu vois bien que lorsqu on décompose avec la composante horizontal et vertical un vecteur on obtient un triangle particulier à savoir un triangle droit donc ici je reprends un vecteur à et je vais dire je vais définir que j'ai la norme du vecteur à souviens toi que cette notation la de traite chaque côté du vecteur ça veut dire sa norme donc autrement géométriquement sa longueur et ça on va la définir comme étant égale à 5 de 20,9 à dire ça à peu près égale à 5 cm et maintenant et si je trace l'horizontale sur mon plan on va dire que c'est l'horizontale l'angle que fait ce vecteur avec l'horizontale il est très particulier je vais le donner en degré cet angle là qu'on va appeler teta si on va dire qu'il est égal à 36,8 9,9 et tu verras pourquoi ce que j'ai donné ce donc cet angle en degré pour que les choses marchent bien à la fin donc on va des composés ce vecteur a en sa composante horizontale et vertical sa composante horizontales ont la trace donc sur cette droite blanche que j'ai dessiné et on va jusque là verticale de l'arrivée de l'arrivée de notre vecteur donc ici ga h pourra horizontal et je pars de la fin de la hache pour arriver jusqu'à à l agea verticale donc encore une fois il s'agit simplement de la décomposition du rectorat on la somme de deux vecteurs à h+ avez maintenant j'ai un angle droit ici donc kitty triangle rectangle et ben dis trigonométrie donc on va utiliser les sinus et des caussinus pour pouvoir déterminer ce qu'on va vouloir ici ça va être de déterminer avait la norme du vecteur avait mais également la norme du vecteur à h bien sûr donc je veux déterminer ces deux ces deux grandeurs donc qu'est-ce que je vais avoir et bien ici assez clairement l'hypoténuse d'accord puisque c'est le côté qui opposait à l'angle droit et je connais simplement cet angle maintenant si je veux m'intéresser à avait avait c'est le côté opposé à l'angle d'état d'accord et qui dit côté opposé et bien dit sinus on a sinus de teta qui est égal à avait / a bien sûr les normes donc si je reprends sinus de teta c'est égal à avait avait / a / a donc un qui est égal à 5 donc pour pouvoir obtenir avec susi simplement que je passe à de l'autre côté donc j'ai signifié à foix a donc avait c'est égal à la norme 2 à x sinus sinus de teta la même chose pour à h sauf que h c'est le côté adjacent à l'angle est et a donc on a le cosinus cette fois-ci caussinus de teta qui est égal à à h la norme 2 h / la norme 2 a donc de la même façon pour pouvoir obtenir la note de a à h on passe de l'autre côté c'est à dire aux multiples idées à droite et à gauche par a et on obtient que hachette et gala cost et à foix a donc je vais l'écrire ici j'ai la norme de a à x caussinus caussinus de teta et alors c'est maintenant tu vas comprendre pourquoi j'ai choisi cet angle particulier de 36 899 bien parce qu'en fait je vais te laisser le vérifier avec la calculatrice si tu prends à qui est égal à 5 x sinus de 36 899 eh bien ça ça va te donner ça va être égal à 3 alors que si tu prends caussinus de teta x 5 donc caussinus de 36.8 199 multiplié par cinq oui à ça ça te donne 4 donc voilà dans un triangle rectangle un petit peu particulier puisqu'il à ses côtés qui ont respectivement la longueur de 3 4 et 5 cm on a un angle ici de 36,8 199 c'est un triangle assez classique le triangle rectangle 3 4 5 tu peux l'appeler un petit peu comme tu veux donc voilà une petite illustration de comment travailler avec un vecteur et ses composantes horizontal et vertical et comment déterminer leur longueur surtout à partir de la longueur du vecteur mais tu vas me dire pourquoi est-ce qu'on fait tout ça mais en fait tu verras on va voir très vite comment décomposer un vecteur où on aurait par exemple ici à la place du lecteur à une vitesse d'un objet qui serait projeté vers le haut mais en même temps vers l'avant et on va pouvoir des composés ce problème de mouvement en un mouvement vertical et un mouvement horizontal donc finalement on pourra s'amuser à des composés des problèmes 2d en deux problèmes un des