A tout nombre complexe on peut faire correspondre un point dans un repère cartésien.
Par définition, le nombre ii est le nombre dont le carré est 1-1.
  • i2=1i^2=-1
  • 1=i\sqrt{-1}=i
Tout nombre de la forme bibi, par exemple, 3i3i ou i5i\sqrt 5, est appelé un imaginaire pur.
L'ensemble des complexes est l'ensemble des nombres de la forme a+bi\greenD{a}+\blueD{b}i, où a\greenD{a} et b\blueD{b} sont des réels.
  • Le réel a\greenD a est appelé la partie relleeˊ\greenD{\text{réelle}} du nombre complexe a+bia+bi.
  • Le réel b\blueD b est appelé la partie imaginaire\blueD{\text{imaginaire}} du nombre complexe a+bia+bi.

Le plan complexe

Le plan complexe permet de visualiser l'ensemble des complexes de la même façon que la droite numérique permet de visualiser l'ensemble des réels.
Le plan complexe est un plan muni d'un repère orthonormé.
L'axe horizontal est appelé l'axe des réels.
L'axe vertical est appelé l'axe des imaginaires.

Image d'un nombre complexe dans le plan complexe

A tout nombre complexe on peut faire correspondre un point du plan complexe.
Soit par exemple, le nombre z=35i=3+(5)iz=3-5i=\greenD{3}+(\blueD{-5})i. Sa partie réelle est 3\greenD{3} et sa partie imaginaire est 5\blueD{-5}.
Son image dans le plan complexe est le point d'abscisse 3\greenD{3} et d'ordonnée 5\blueD{-5}.
L'image de z=3+(5)iz=\greenD{3}+(\blueD{-5})i est le point de coordonnées (3,5)(\greenD{3}, \blueD{-5}). Quel que soit aa et quel que soit bb, l'image du nombre complexe z=a+biz= \greenD a+\blueD bi dans le plan complexe est le point de coordonnées (a,b)(\greenD a,\blueD b). Si AA est l'image de zz, on dit que zz est l'affixe de AA.

À vous !

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4

Exercice 5

En guise de conclusion

Avant Pythagore personne ne soupçonnait qu'il puisse exister un nombre tel que 2\sqrt{2} dont le développement décimal est illimité.
Aujourd'hui, "tout le monde" sait placer l'image de 2\sqrt{2} sur la droite numérique car 2\sqrt{2} est la longueur de la diagonale d'un carré de côté 11. Donc personne ne met en doute que ce nombre est un réel.
De la même façon, on est capable de placer l'image de n'importe quel nombre complexe dans le plan complexe.
Ce qui prouve que ces nombres existent et ne sont pas du tout "imaginaires".
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