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6e année secondaire - 4h
Cours : 6e année secondaire - 4h > Chapitre 5
Leçon 2: Propriétés des logarithmes- Les propriétés du logarithme - 1re partie
- Les propriétés du logarithme
- Les propriétés du logarithme - 2e partie
- Logarithme d'un produit - exemple
- Logarithme d'une puissance - exemple
- Appliquer les propriétés du logarithme
- Logarithme d'un produit - démonstration
- Logarithme d'un quotient et d'une puissance - démonstration
- Démonstration des propriétés du logarithme
- Simplifier un logarithme en plusieurs étapes
- Résoudre une équation comportant des logarithmes - exemple 1
- Faire le point sur les propriétés des logarithmes
Démonstration des propriétés du logarithme
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Dans cette leçon nous allons démontrer trois des propriétés du logarithme. Les raisonnements reposent sur cette formule :
L'image de b, start superscript, c, end superscript par la fonction logarithme de base b est c.
Il faut bien garder cette formule en tête car c'est sur elle que repose tout ce qui va suivre.
Le logarithme d'un produit : log, start base, b, end base, left parenthesis, M, N, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, plus, log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis
On commence par raisonner sur un cas particulier. On prend le cas où M, equals, 4, N, equals, 8 et b, equals, 2.
On remplace M et N par ces valeurs dans log, start base, b, end base, left parenthesis, M, N, right parenthesis. On obtient :
Donc on a établi que log, start base, 2, end base, left parenthesis, 4, times, 8, right parenthesis, equals, log, start base, 2, end base, left parenthesis, 4, right parenthesis, plus, log, start base, 2, end base, left parenthesis, 8, right parenthesis.
Ce n'est qu'un cas particulier mais on peut utiliser la même démarche pour démontrer la propriété.
Le raisonnement précédent repose sur le fait que 4 et 8 sont des puissances de 2. Mais dans le cas général, quels que soient M, is greater than, 0 et b, is greater than, 0, il existe un réel x tel que b, start superscript, x, end superscript, equals, M et quels que soient N, is greater than, 0 et b, is greater than, 0, il existe un réel y tel que b, start superscript, y, end superscript, equals, N.
b, start superscript, x, end superscript, equals, M équivaut à log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, equals, x et b, start superscript, y, end superscript, equals, N équivaut à log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis, equals, y.
On obtient :
Le logarithme d'un quotient : log, start base, b, end base, left parenthesis, start fraction, M, divided by, N, end fraction, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, minus, log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis
La démonstration est analogue à la démonstration précédente.
Si x et y sont les réels tels que M, equals, b, start superscript, x, end superscript et N, equals, b, start superscript, y, end superscript, alors log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, equals, x et log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis, equals, y.
Donc :
Le logarithme d'une puissance : log, start base, b, end base, left parenthesis, M, start superscript, p, end superscript, right parenthesis, equals, p, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis
Si x est le réel tel que M, equals, b, start superscript, x, end superscript, alors log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, equals, x.
Donc :
On peut aussi démontrer cette propriété à partir de la propriété du logarithme d'un produit.
log, start base, b, end base, left parenthesis, M, start superscript, p, end superscript, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, times, M, times, point, point, point, times, M, right parenthesis, avec p facteurs égaux à M.
On applique la propriété du logarithme d'un produit et on obtient :
Et on a ainsi démontré les trois propriétés !
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- Comment résoudre la valeur log2 racine carrée de 512 merci(1 vote)
- log_2(rac(512)) = log_2(rac(2^9)) =log_2((2^9)^(1/2)) = log_2(2^(9/2)) = 9/2log_2(2) = 9/2×1 = 4,5
Ce n'est pas très lisible sans éditeur mathématique !
En fait il suffisait de penser à écrire rac(512) = rac (2^9) = 2^(9/2)(1 vote)
- a exposant (log an base a de x ) = x est-ce c correct. D'où cela vient-il?(1 vote)
- Le log en base a du 1er membre est :
log_a[a^(log_a(x)]= log_a(x)*log_a(a)
Or, log_a(a) = 1, donc log_a[a^(log_a(x)]= log_a(x)
et le log en base a du 2e membre est :
log_a(x)
log_a (y) = log_a (z) équivaut à y = z(1 vote)