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6e année secondaire - 4 h
Cours : 6e année secondaire - 4 h > Chapitre 5
Leçon 2: Propriétés des logarithmes- Les propriétés du logarithme - 1re partie
- Les propriétés du logarithme
- Les propriétés du logarithme - 2e partie
- Logarithme d'un produit - exemple
- Logarithme d'une puissance - exemple
- Appliquer les propriétés du logarithme
- Logarithme d'un produit - démonstration
- Logarithme d'un quotient et d'une puissance - démonstration
- Démonstration des propriétés du logarithme
- Simplifier un logarithme en plusieurs étapes
- Résoudre une équation comportant des logarithmes - exemple 1
- Faire le point sur les propriétés des logarithmes
Démonstration des propriétés du logarithme
.
Dans cette leçon nous allons démontrer trois des propriétés du logarithme. Les raisonnements reposent sur cette formule :
L'image de par la fonction logarithme de base est .
Il faut bien garder cette formule en tête car c'est sur elle que repose tout ce qui va suivre.
Le logarithme d'un produit :
On commence par raisonner sur un cas particulier. On prend le cas où , et .
On remplace et par ces valeurs dans . On obtient :
Donc on a établi que .
Ce n'est qu'un cas particulier mais on peut utiliser la même démarche pour démontrer la propriété.
Le raisonnement précédent repose sur le fait que et sont des puissances de . Mais dans le cas général, quels que soient et , il existe un réel tel que et quels que soient et , il existe un réel tel que .
On obtient :
Le logarithme d'un quotient :
La démonstration est analogue à la démonstration précédente.
Si et sont les réels tels que et , alors et .
Donc :
Le logarithme d'une puissance :
Si est le réel tel que , alors .
Donc :
On peut aussi démontrer cette propriété à partir de la propriété du logarithme d'un produit.
On applique la propriété du logarithme d'un produit et on obtient :
Et on a ainsi démontré les trois propriétés !
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- Comment résoudre la valeur log2 racine carrée de 512 merci(1 vote)
- log_2(rac(512)) = log_2(rac(2^9)) =log_2((2^9)^(1/2)) = log_2(2^(9/2)) = 9/2log_2(2) = 9/2×1 = 4,5
Ce n'est pas très lisible sans éditeur mathématique !
En fait il suffisait de penser à écrire rac(512) = rac (2^9) = 2^(9/2)(1 vote)
- a exposant (log an base a de x ) = x est-ce c correct. D'où cela vient-il?(1 vote)
- Le log en base a du 1er membre est :
log_a[a^(log_a(x)]= log_a(x)*log_a(a)
Or, log_a(a) = 1, donc log_a[a^(log_a(x)]= log_a(x)
et le log en base a du 2e membre est :
log_a(x)
log_a (y) = log_a (z) équivaut à y = z(1 vote)