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6e année secondaire - 4h

Cours : 6e année secondaire - 4h > Chapitre 5 

Leçon 2: Propriétés des logarithmes
Mathématiques
6e année secondaire - 4h
Les fonctions logarithmes
Propriétés des logarithmes
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Démonstration des propriétés du logarithme

Google Classroom
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Dans cette leçon nous allons démontrer trois des propriétés du logarithme. Les raisonnements reposent sur cette formule :
log, start base, b, end base, left parenthesis, b, start superscript, c, end superscript, right parenthesis, equals, c
L'image de b, start superscript, c, end superscript par la fonction logarithme de base b est c.
Il faut bien garder cette formule en tête car c'est sur elle que repose tout ce qui va suivre.

Le logarithme d'un produit : log, start base, b, end base, left parenthesis, M, N, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, plus, log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis

On commence par raisonner sur un cas particulier. On prend le cas où M, equals, 4, N, equals, 8 et b, equals, 2.
On remplace M et N par ces valeurs dans log, start base, b, end base, left parenthesis, M, N, right parenthesis. On obtient :
log⁡2(4×8)=log⁡2(22×23)22=4 et 23=8=log⁡2(22+3)am×an=am+n=2+3log⁡b(bc)=c=log⁡2(4)+log⁡2(8)car 2=log⁡2(4) et 3=log⁡2(8)\begin{aligned}\log_2({4\times 8})&=\log_2(2^2\times 2^3)&&\small{\gray{2^2=4\text{ et } 2^3=8}}\\ \\ &=\log_2(2^{2+3})&&\small{\gray{\text{$a^m\times a^n=a^{m+n}$}}}\\ \\ &=2+3&&\small{\gray{\text{$\log_b(b^c)=c$}}}\\ \\ &=\log_2(4)+\log_2(8)&&\small{\gray{\text{car $2=\log_2(4)$ et $3=\log_2(8)$}}}\\ \end{aligned}
Donc on a établi que log, start base, 2, end base, left parenthesis, 4, times, 8, right parenthesis, equals, log, start base, 2, end base, left parenthesis, 4, right parenthesis, plus, log, start base, 2, end base, left parenthesis, 8, right parenthesis.
Ce n'est qu'un cas particulier mais on peut utiliser la même démarche pour démontrer la propriété.
Le raisonnement précédent repose sur le fait que 4 et 8 sont des puissances de 2. Mais dans le cas général, quels que soient M, is greater than, 0 et b, is greater than, 0, il existe un réel x tel que b, start superscript, x, end superscript, equals, M et quels que soient N, is greater than, 0 et b, is greater than, 0, il existe un réel y tel que b, start superscript, y, end superscript, equals, N.
b, start superscript, x, end superscript, equals, M équivaut à log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, equals, x et b, start superscript, y, end superscript, equals, N équivaut à log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis, equals, y.
On obtient :
log⁡b(MN)=log⁡b(bx×by)=log⁡b(bx+y)=x+ycar log⁡b(bc)=c=log⁡b(M)+log⁡b(N)\begin{aligned}\log_b(MN)&=\log_b(b^x\times b^y)&&\small{\gray{\text{}}}\\ \\ &=\log_b(b^{x+y})&&\small{\gray{\text{}}}\\ \\ &=x+y&&\small{\gray{\text{car $\log_b(b^c)=c$}}} \\\\ &=\log_b(M)+\log_b(N)&&\small{\gray{\text{}}} \end{aligned}

Le logarithme d'un quotient : log, start base, b, end base, left parenthesis, start fraction, M, divided by, N, end fraction, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, minus, log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis

La démonstration est analogue à la démonstration précédente.
Si x et y sont les réels tels que M, equals, b, start superscript, x, end superscript et N, equals, b, start superscript, y, end superscript, alors log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, equals, x et log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis, equals, y.
Donc :
log⁡b(MN)=log⁡b(bxby)=log⁡b(bx−y)=x−ycar log⁡b(bc)=c=log⁡b(M)−log⁡b(N)\begin{aligned}\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right)&=\log_b\left(\dfrac{b^x}{ b^y}\right)&&\small{\gray{\text{}}}\\ \\ &=\log_b(b^{x-y})&&\small{\gray{\text{}}}\\ \\ &=x-y&&\small{\gray{\text{car $\log_b(b^c)=c$}}}\\ \\ &=\log_b(M)-\log_b(N)&&\small{\gray{\text{}}} \end{aligned}

Le logarithme d'une puissance : log, start base, b, end base, left parenthesis, M, start superscript, p, end superscript, right parenthesis, equals, p, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis

Si x est le réel tel que M, equals, b, start superscript, x, end superscript, alors log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, equals, x.
Donc :
log⁡b(Mp)=log⁡b((bx)p)=log⁡b(bxp)=xplog⁡b(bc)=c=log⁡b(M)×p=p×log⁡b(M)\begin{aligned}\log_b\left(M^p\right)&=\log_b(\left({b^x}\right)^p)&&\small{\gray{\text{}}}\\ \\ &=\log_b(b^{xp})&&\small{\gray{\text{}}}\\ \\ &=xp&&\small{\gray{\text{$\log_b(b^c)=c$}}}\\ \\ &=\log_b(M)\times p&&\small{\gray{\text{}}}\\ \\ &=p\times\log_b(M)&&\small{\gray{\text{}}} \end{aligned}
On peut aussi démontrer cette propriété à partir de la propriété du logarithme d'un produit.
log, start base, b, end base, left parenthesis, M, start superscript, p, end superscript, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, times, M, times, point, point, point, times, M, right parenthesis, avec p facteurs égaux à M.
On applique la propriété du logarithme d'un produit et on obtient :
log⁡b(Mp)=log⁡b(M×M×...×M)=log⁡b(M)+log⁡b(M)+...+log⁡b(M)=p×log⁡b(M)\begin{aligned} \log_b(M^p) &=\log_b(M\times M\times ...\times M)&&\small{\gray{\text{}}}\\ \\ &= \log_b(M)+\log_b(M)+...+\log_b(M)&& \small{\gray{\text{}}}\\\\ &= p\times \log_b(M) &&\small{\gray{\text{}}}\end{aligned}
Et on a ainsi démontré les trois propriétés !

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