Utiliser la forme exponentielle pour trouver des racines complexes

donc dans cette vidéo ce qu'on va faire c'est qu'on va découvrir pourquoi la forme exponentielle d'un nombre complexe est utile et pour ça et bien on va résoudre l'équation suivante x cube est égal à 1 donc c'est la même chose que de résoudre x occupent moins un est égal à zéro et en fait ce qu'on va voir c'est que comprendre les solution de cette équation là avec la forme exponentielle d'un monde complexe et bien ça va nous aider en fait à généraliser ça et bien à n'importe quelle puissance donc par exemple ax à la puissance 13 est égal à 1 je vais pouvoir résoudre et trouver toutes les racines solution de cette équation qu'elle soit réelle au complexe donc pour faire ça on va commencer par se poser la question de qu'est ce que c'est que la représentation complexe de 1 donc z est égal à 1 et bien ça c'est un certains nombres complexes d'accord puisque n'importe quel nombre réel est en fait un nombre complexe d'accord les réels sont d un sous-ensemble de l'espace des complexes et la même chose en fait que d'avoir un nombre qui n'a pas de parti imaginaire ici je pourrais écrire donc z est égal à un plus et bien 0-0 et donc ça ce serait la même chose donc on va essayer de représenter qu'est ce que c'est que ce assuré bien notre plan complexe donc sur notre plan complexe alors je prends je vais dessiner le plan complexe donc voici lax des imaginaires et voici lac ceux des réelles donc je vais marquer donc ici c'est les imaginaires ici les réelles voilà donc ça ça va être un un ici -1 et -1 donc où est le point z ici et bien le point z il est il est juste ici voilà c'est comme si c'était le vecteur qui part de l'origine et qui va jusqu'aux points 1 sur l' axe des réelles donc ça c'est mon c'est mon z et qu'est ce que c'est que la forme x potentiel de ce nombre là donc pour trouver la forme exponentielle il faut que je trouve le module de z donc le module de zi 6 et bien c'est sa partie réelle donc c'est un et il faut que je trouve aussi l'argument de z c'est à dire l'angle que fait z avec l' axe des réelles ici donc je vois bien que ici c'est zéro donc en fait la représentation exponentielle de mon nombreuses aides et bien ça va être et bien 1,1 fois exponentielle de i à la puissance 22il 0 donc ça voilà donc ça c'est effectivement mon nombreuses aides puisque exponentielle 2 0 ça nous fait donc 1 et 1.1 ça fait un bond jusque là tout va bien c'est même pas très très très intéressant mais par contre ce qu'on peut remarquer c'est que en fait l'argument dozen et bien ça peut très bien être autre chose parce que eh bien on sait que 0 radiant 0 radiant c'est la même chose que deux pires radiant c'est la même chose que quatre pirates ayant et c'est donc en fait l'argument 2 est ici ça peut très bien être 2 puis aussi ça peut aussi être et bien quatre pieds etc etc pourquoi parce qu'en fait si j'écris si j'écris est bien un x exponentielle hideuse de piller bien c'est exactement la même chose que exponentielle de i 0 d'accord c'est la même chose et c'est aussi la même chose que exponentielle de i2 4 up dont on peut écrire cette équation en fait de plusieurs manières différentes donc on peut écrire est bien ce qu on avait tout à l'heure c'est à dire x à la puissance 3 est égal à 1 mais je peux aussi écrire et bien x à la puissance 3 est égal à exponentielle de i2 2 pi et je peux écrire aussi et bien x à la puissance 3a est égal à exponentielle de i2 4 pi donc toutes ses formes là sont équivalentes ici et donc si je résous pour x dans chacune 2 et l'équation qu'est ce que ça me donne mais ce que je vais faire pour résoudre pour hic c'est que je vais élever à la puissance un tiers de chaque côté de l'équation pour toutes ces équations l'a donc ici j'aurais bien x est égal à 1 à la puissance un tiers ici j'aurais x est égal à exponentielle de i2 pis à la puissance un tiers ici j'aurais x est égal à exponentielle de i2 4 pi à la puissance un tiers voilà donc ici qu'est ce que ça me fait et bien ça me fait x est égal à 1 donc ça c'est celle à la racine réel que je connais déjà et ici qu'est ce que ça me fait et bien ça me fait x est égal à exponentielle de i2 deux tiers de piger juste appliqué ici les propriétés des puissances et ici ça fait x est égal à exponentielle de i2 4/3 de pi donc maintenant eh bien si j'essaie de représenter ces différents x ici donc ici je vais appeler ça x1 ici x2 est ici x3 donc saisi que cela qu'ils sont tous solution de l'équation x au cube est égal à 1 est bien le premier x 1c le point que j'ai déjà marqué ici donc cesser ce point là ici en rose et maintenant qu'est ce que c'est que ce point là qu'est ce que c'est que x2 en verre ici le module 2 x 2 qu'est ce que c'est bien je sais que c'est un et l'argument ii x2 l'argument ii x2 et bien ces deux tiers de pie pour x3 le module 2 x 3 et bien c'est un et l'argument de x3 l'argument de x3 et bien ça va être 4/3 depuis quatre tirs depuis donc qu'est-ce que ça me donne sur le plan complexe et bien pour x2 donc pour x2 il faut que je trouve que c'est que deux tiers de pi donc deux tiers de pi ca va être donc ici gepi sur deux donc moi j'aime bien parfois meurent dire ce que ça fait en degré donc deux tiers de piquer ce que ces vingt deux pistes et 360 degrés donc 360 ° 2 / 3 ça nous fait 120 degrés donc et c'est quelque chose qui est c'est cet angle la ici voilà et je sais que le module 2 x 2 c1 donc ça va nous faire ça va nous faire et bien à peu près quelque chose comme ceci voilà voilà donc ça c'est x2 pour x3 est bien le module 2 x 3 c1 et on a donc l'argument du xx e trois c4 tiers de pi donc ces deux fois l'argument ii x2 donc ces 2 x 120 degrés ça nous fait 240 degrés donc je vais tomber à peu près ici donc ça va être tout cet angle là voilà et donc j'ai dit que le module était égal à donc x3 ça va être ce point ici est en fait ce que je peux voir ce que je peux voir là c'est que eh bien c'est trois points c'est dans ces trois points qui sont solution de l'équation x3 est égal à 1 en fait ils sont sûrs donc le cercle une unité ici et il divise ce cercle unités là en trois angles trois angles égaux donc voilà en fait les solutions de l'équation alors maintenant et si j'ai envie d'avoir et bien les solution de cette équation là dans leurs formes cartésienne donc ça c'est assez facile il suffit que je retombe en fait sur la forme la forme la forme polaire et je vais retrouver la forme cartésienne très rapidement x2 on a dit que c'était exponentielle de i2 deux tiers de pi donc x2 ça va être égal à caussinus de deux tiers de pi plus + is in us de deux tiers de pi et caussinus de deux tiers de piquer ce que c'est bien c'est tout simplement la projection de ce vecteur la sueur lax des réelles donc ça me donnera mon x ici donc c'est c'est ce point c'est ça va être ce point ici et caussinus de deux tiers de pi je sais que ça fait est bien moins un demi donc ici je vais avoir donc je vais remettre jeu remettre en verre donc ici je vais avoir moins un demi plus is in us de deux tiers de piscine us de deux tiers de piquer ce que c'est bien c'est la projection de ce vecteur la sueur lax ici des imaginaires et ça va nous faire donc et bien racines de 3 sur deux donc voilà pour x2 mais pour x3 je fais la même chose donc pour x3 en fait x3 ça va être quoi ça va être caussinus caussinus de quatre tiers de pi plus is in us de quatre tiers de pi donc x3 ça va être égal à évin caussinus de quatre tiers de pique aux sinus de quatre tirs de peace avec ce nombre est ça la ici donc ça va être encore une fois - 1/2 plus y sinus de quatre tirs de pie ix donc la projection sur l'axé imaginaire cette fois ci ce sera donc moins racines de 3 donc ici - i racine de 3 sur deux donc si c'est bien moins c'est bien un moins ici donc voilà les les écritures ce2 x2 et x3 sous leur forme cartésienne et une chose que tu peux te demander c'est ici c'est pourquoi je me suis arrêté à 4 pi parce que eh bien l'argument de zi6 si ça peut être zéro de piquette peas a pu être n'importe quel aussi multiple de deux pays donc ça pourrait être par exemple 6 pi et donc 6 pi pourquoi jeu que j'ai pas pris 6 pi parce que si j'ai 6 pi et bien ça me fait donc x3 et des galas exponentielle de ici pis donc si j'essaye de résoudre ça eh bien ça me fait x exponentielle de i 6 pi sur trois d'accord j'ai mis à la puissance un tiers de chaque côté et 6/3 qu'est ce que ça fait et bien ça nous fait depuis donc j'aurai exponentielle de i 2 2 puis donc ça veut dire qu'en fait je retombe sur et bien des noms que j'ai déjà calculé donc par exemple après si je prend 8 pi ben je veux retourner sur quatre pays etc etc donc en fait après je vais juste retombée sur les racines que j'ai déjà trouvé donc ici de toute manière tu sais que quand on a x à la puissance n qu'est-ce que ça veut dire est que ça veut dire que x aen racines donc ça n'a pas d'intérêt de chercher plus de trois racines dans un cas comme ça par contre si on devait résoudre des biens x puissance 4 est égal à 1 et bien on ne chercherait donc 4 racines pourrait bien cette équation là et donc on prendrait 02 piquette peas 6 pi et si tu résout ça eh bien tu verrais que on obtiendrait donc 4 racines donc deux racines réel qui seraient sains et moins les racines que tu connais mais aussi deux racines complexe qui serait donc y est moins ainsi donc encore une fois cette fois ci on aurait quatre racines de cette équation là qui séparerait qui couperait le cercle le cercle unités ici en 4/4 angle égaux donc ça eh bien ce serait un bon exercice pour toi affaires de voir par exemple si tu prends x à la puissance 5 est égal à 1 et que tu essayes de résoudre de la même manière qu'on l'a fait là est de représenter ensuite les racines que tu as trouvé sur le plan complexe pour vous voir un petit peu comment ça marche pour des puissances plus élevé