Inégalité triangulaire vectorielle

alors dans la vidéo précédente on a démontré l'inégalité de kochi schwarz je vais marquer l'inégalité l'inégalité de kochi schwarz de kochi schwarz et l'idée c'est que maintenant on va utiliser dans cette vidéo cette inégalité pour aller un peu plus loin dans la gèmerie l'inr donc pour commencer je vais réécrire l'inégalité de kochi schwarz parce que c'est utile de l'avoir un peu en tête donc l'idée c'est qu'on va prendre deux vecteurs x et y les deux vecteurs appartenant à air n et on spécifie en plus que ces deux vecteurs doivent être positive donc maintenant pardon doivent et non nul ces deux vecteurs sont des vecteurs qui sont non nul on les prend non nul pour pas avoir de problème de deux divisions si on prend par exemple la norme d'un recteur on veut pas que la norme de ce vecteur soit nul et du coup maintenant qu'on a ces deux vecteurs l'inégalité de kochi schwarz nous dit que si je prends la valeur absolue du produit scalaires entre x et y c'est la valeur absolue du produit qu'à l'ère cette valeur absolue est inférieur ou égal à la norme 2 x fois la norme de y ici je peux bien dire que c'est inférieur parce que en fait on a ici de chaque côté de l'égalité on a bien des scolaires une norme c'est un scalaire est un produit scalaires comme son nom l'indiqué ça donne un scalaire on a des conditions d'égalité dans un cas très précis si on n'a que x est égal à ses fins y si du coup x et y sont collinaires et ici il faut spécifier que que c est non tenues alors pourquoi c'est évident parce que on a dit que x et y sont nulles du coup si c est nul ça veut dire que x nuls et on a dit qu'il était dans nulle mais bon on va quand même spécifié ici que c est non nul c est non tenues et du coup si on a cette égalité si ces 6 x y sont culinaire c'est équivalent au fait de dire que cette inégalité se transforme en une égalité donc la valeur absolue du produit jusqu'à l'ère de x par y est à ce moment-là égal au produit d'énormes des vecteurs donc la norme 2 x fois la norme de y est maintenant dans cette vidéo on va utiliser l'inégalité et l'égalité de kochi schwarz pour apprendre un peu plus sur sur l'algèbre linéaire donc ce que je vais faire c'est que je vais m'intéresser en fait à la norme du vecteur x plus y ce vecteur xy il existe donc je peux prendre sa norme et je vais m'intéresser à ce nombre au carré alors pour commencer on a vu dans les vidéos précédentes qu'une norme au carré c'était égal au produit scalaires de du vecteur donc ici si j'ai la norme 2x plus y au carré c'est égal cette norme au carré est égal au produit scalaires 2x plus y le produit scolaire 2 x plus y par lui même ben x plus y et on a vu aussi dans la vidéo précédente on a vu que le produit scalaires était à la fois commutatif distributif et associatif du coup on peut utiliser ses propriétés maintenant pour développer cette expression donc on va développer d'abord par rapport au premier terme on va dire que ça c'est égal à x produits scolaires de x par x plus y x plus y en fait on va garder ça ensemble on va considérer ça comme x plus y comme un vecteur est du coup plus y scalaires x plus y ce qu'allait x plus y est maintenant on peut développer par rapport au deuxième terme donc j'obtiens ici j'obtiens x scalaires x comme premier terme mon deuxième terme ça va être du coup plus x scalaires y x calais y ait ici je vais obtenir y scarlets fixe plus du coup mon dernier terme c'est y au carré pardon y scalaires y voilà du coup maintenant j'essaye qu'à terme et ce que je remarque déjà c'est que x scalaires y est y scalaires x c'est la même chose parce que mon produit scalaires et commutatif donc ça je sais que ces 2 x scolaire y est mon premier terme du coup x 15 x on sait que c'est égal à la norme 2 x au carré est mon dernier terne y ce qu'est l'art y on sait que c'est égal à la norme de y au carré là je n'oublie pas les plus alors une fois que j'ai fait ça ce qui est important de remarquer si on regarde ce terme ici si on regarde le xk les uns y on sait que x scalaires y c'est du coup un scalaire et on sait qu'il est inférieur ou égal à la valeur absolue de x colère y parce que si x x calais agric peut être négatif par exemple si je prends x qui a que des composantes des coefficients positif y a que des coefficients négatif xk mairie greek va être négatif à ce moment là il sera inférieur à ce moment là le produit qu'à la x 2 x par y va être négatif alors que la valeur absolue sera positif donc le losc produit qu'à l'air sera bien inférieur à la valeur absolue du produit scalaires est par contre si le produit ce cas les uns positif à ce moment là il sera égal à la valeur absolue de ce produit scolaire et du coup si on revient dans l'illégalité de kochi schwarz en fait on pourrait presque ajouter ça paraît un peu évident mais on pourra ajouter ici que la valeur absolue du produit scalaires est supérieur ou égal 1 aux produits scolaires en lui-même aux produits scolaires x par y et du coup si on revient maintenant à notre calcul ici en fait je sais que ce terme ici eh bien il sera inférieur forcément au produit d'énormes ii x2 y donc je sais que tout mon terme ici tout ça ça va être inférieur ou égal à 1 et je vais remplacer en fait ce terme par la norme 2 x fois la norme de y ai vu que je remplace par ce terme qui est qui est plus grand je sais que à ce moment là je vais avoir ce inférieur ou égal au xi je remplis maintenant je vais garder les couleurs donc là j'ai mon j'ai mon 2 qu'il faut pas oublier ici j'ai la norme 2 x au carré et enfin ici j'ai la norme pardon la norme de y au carré et du coup faut pas que j'oublie que ça moi ce que j'ai essayé de calculer c'était ici c'était x la norme 2x plus y au carré et du coup maintenant si je finis en fait je peux remarqué qu'ici j'ai un carré j'ai un carré parfait ici je peux écrire que tout ce qui est ici c'est égal en fait à la norme 2x plus la norme de y le tout étant au carré est ce que si je développe ici je vais bien avoir x carré plus de pendant la norme 2 x au carré plus deux fois la norme 2 x fois la norme de y plus la norme din grecque au carré et du coup si je finis mon inégalités j'ai que la norme 2x plus y j'avais oublié la fesci plus y au carré est inférieure à oak arrêt de la norme 2 x plus la norme du grec et du coup maintenant je peux passer à la racine vu que chaque terme est positif j'ai pas de problème avec mon signe de l'inégalité et qu'est ce que j'obtiens j'obtiens que du coup la norme 2 x plus y la norme du vecteur x plus y est inférieur ou égal à la norme 2 x plus la norme de y ait en fait ça c'est ce qu'on appelle c'est quelque chose que tu connais à deux dimensions c'est ce qu'on appelle l'inégalité l'inégalité l'inégalité triangulaire 7 sept cette expression ici c'est ce qu'on appelle l'inégalité triangulaire alors tu vas me dire oui mais ça je connais ça depuis longtemps et c'est vrai effectivement si on prend un graphe on va regarder ce qui se passe en deux dimensions donc je prends par exemple bon vecteur mon vecteur x je vais prendre mon facteur x comme ça ça c'est mon vecteur x et je prends d'hesmond vecteur y comme ceux ci ça c'est mon vecteur y est du coup j'ai que mon vecteur x plus y il va de là et ils arrivent ici ça c'est bon vecteur x plus y est alors là effectivement c'est évident de dire que ici donc si je reviens là on dit que la norme de x ou y est inférieur ou égal à la norme 2 x plus la norme din grec et on a vu au début c'est comme ça qu'on a introduit que çà çà çà se référer en plus ou moins une longueur et du coup ce qu'on voit ici c'est que la longueur du vecteur x plus y est bien de façon évidente inférieur à la longueur de x plus la longueur de y c'est évident que si je cherche à aller de ce point là à ce point là le chemin le plus court apprendre c'est le chemin qui passe par x plus y c'est pas le chemin qui passe par ici et qui arrivent ici donc en fait l'âge et de façon évidente que la norme 2 x y ou la longueur de explique y est inférieur à la longueur de x plus la longueur de y et je peux même aller plus loin si dans quels cas en fait on peut chercher dans quels cas est-ce qu'on va avoir égalité entre la norme 2x plus y est la somme de la norme 2 x et de la dendre de y si je prends si je prends par exemple un vecteur je prends mon vecteur x comme ceux ci ça c'est bon vecteur x et je vais prendre mon vecteur y je vais le prendre parfaitement alignés je vais prendre comme ça ça c'est mon vecteur y donc mon vecteur x plus y il va de là et il finit est fine et la converter x flichy gré que sa longueur c'est tout ça ça m'a dit x plus y est là c'est évident aussi que la longueur de explique y elle est égale à la longueur de x plus la longueur de y et ça ça arrive du coup dans le cas où x et y sont sont collinaires et du coup si on revient si on essaie d'écrire ça de façon un peu mathématiques qu'est ce qu'on a on a du coup dans le cas où on a x qui est égal à ses x y ait ici on par rapport à ce cas ici où on a dit que c'était nul ici on doit rajouter une condition on va dire que c est positif c est strictement positif si on a ça alors on sait que le produit scalaires 2x par y il est égale 1-1 à ces fois le produit scolaire de y par lui-même donc ces gars-là c'est fois la norme de y au carré vu que y la norme de y avait c'est un homme positif est que c'est on a dit est positif alors ça veut dire que le produit scalaires entre x et y est positif et du coup il est égal à la valeur absolue de justement de ce produit scolaire donc on a que le produit scalaires de x pas y est égal à la valeur absolue du produit scolaire deux experts y est maintenant on peut revenir à oka d'égalité de kochi schwarz et maintenant on est dans ce cas là et du coup on sait aussi que le produit scalaires vu qu'il est égal à la valeur absolue du projet scolaire il est aussi égale au produit d'énormes 2x et de y donc ce qui veut dire que si on revient dans notre calcul ici là on avait le produit scolaire de x ou y et du coup sous cette condition sous la condition que x puisse écrire comme ces x y avec c'est positif on a maintenant égalité entre le produit scalaires 2x par y est le produit des normes donc ça veut dire qu'ici en fait maintenant on a une égalité et du coup à ce niveau là on n'a plus une inégalité on a bien une égalité et du coup si on continue le calcul à la fin ici aussi on n'aura plus une inégalité on n'aura que la norme du du vecteur x plus y sera maintenant égale à la norme 2 x plus la norme de y et ça c'est sous condition donc c'est équivalent vous fait de dire que x est égal à ces foyers grecs avec ses qui est strictement positif alors c'est vrai que que ce soit l'inégalité où l'égalité qu'on a obtenu ici si on revient à notre cas en deux dimensions c'est assez triviale on l'a compris depuis longtemps et on n'avait pas besoin de passer par des produits scolaires pour comprendre que dans un triangle ce chemin là est plus court que passer par ici mais l'avantagé c'est que si ça c'est possible uniquement dans r2 ce qu'on connaissait c'était uniquement derrière 2 maintenant on peut faire ça on peut faire la même chose mais avec un nombre de dimensions quelconque on peut avoir x qui à 100 sans composants et on aura quand même cette inégalité qui sera vrai on peut se placer du coup dans on peut faire la même chose qu'on faisait dans r2 avant le faisait dans r2 maintenant on le faire on peut étendre ce qu'on savait ar 100 ou arm lilloise ce qu'on veut du coup dans la suite on va on va souvent utilisée soit cette inégalité soit cette égalité est notamment va s'en servir dans la vidéo prochaine pour définir quelle est l'angle qu'il existe entre deux vecteurs alors bien sûr encore une fois à deux dimensions c'est assez évident à l'angle entre entre ces deux vecteurs ça va être quelque chose comme ça mais là c'est facile parce qu'on est à deux dimensions quand on est encore une fois à 100 dimensions et ben c'est plus compliqué défini en anglais et c'est pour ça qu'on va avoir besoin de cette inégalité triangulaire