Pour tout savoir sur la courbe représentative de x(t)

Que peut-on déduire de la courbe représentant la position en fonction du temps ?

A quoi sert la courbe représentative de x(t) ?

Pour beaucoup de gens, se retrouver face à une courbe, c'est un peu comme aller chez le dentiste : cela fait naître un vague sentiment d'inquiétude avec l'envie d'en finir au plus vite. Pourtant, les représentations graphiques de la position en fonction du temps sont un moyen efficace pour visualiser un grand nombre d'informations concernant le mouvement d'un objet.

Que représente l'axe vertical sur la courbe représentative de x(t) ?

L'axe vertical représente la position d'un objet. Grâce à la courbe ci-dessous, on peut par exemple déterminer pour chaque instant (valeurs notées sous l'axe horizontal, en secondes) la position de l'objet considéré (valeurs notées à gauche de l'axe vertical, en mètres).
Sur la représentation graphique ci-dessous, il est possible de faire glisser le point vert horizontalement pour choisir différents instants et ainsi voir comment la position évolue.
Application : Quelle est la position de l'objet à l'instant t=5t=5 secondes selon la courbe ci-dessus ?

Que représente la pente de la courbe représentative de x(t) ?

La pente de la courbe représentative de x(t) correspond à la vitesse algébrique de l'objet. La valeur de cette pente est donc la valeur de la vitesse algébrique de l'objet à un instant donné.
Pour mieux comprendre, on considère la courbe représentative de x(t) suivante :
La pente de cette courbe est définie comme suit : pente=variation verticalevariation horizontale=x2x1t2t1\text{pente}=\dfrac{\text{variation verticale}}{\text{variation horizontale}}=\dfrac{x_2-x_1}{t_2-t_1}.
Cette expression de la pente est la même que celle de la vitesse algébrique : v=ΔxΔt=x2x1t2t1v=\dfrac{\Delta x}{\Delta t}=\dfrac{x_2-x_1}{t_2-t_1}. La pente de la courbe représentative de x(t) correspond donc à la vitesse algébrique.
Cela est aussi vrai lorsque la pente de la courbe donnant x(t) varie. Sur l'exemple suivant, le trait rouge montre la pente à un instant donné. Il est possible de faire glisser le point vert horizontalement pour suivre l'évolution de la pente selon l'instant considéré.
La pente de la courbe entre les instants t=0 st=0\text{ s} et t=3 st=3 \text{ s} est positive puisque le trait rouge est dirigé vers le haut. Cela signifie que la vitesse algébrique est positive et ainsi que l'objet se déplace dans la direction positive.
La pente de la courbe entre les instants t=3 st=3\text{ s} et t=9 st=9 \text{ s} est négative puisque le trait rouge est dirigé vers le bas. Cela signifie que la vitesse algébrique est négative et ainsi que l'objet se déplace dans la direction négative.
La pente de la courbe est nulle à l'instant t=3 st=3\text{ s} puisque le trait rouge est horizontal. Cela signifie que la vitesse algébrique est nulle et ainsi que l'objet est momentanément au repos.
Application : que vaut la vitesse algébrique de l'objet à l'instant t=9 st=9 \text{ s} selon la courbe ci-dessus ?
La vitesse algébrique peut être instantanée ou moyenne. Il est important de noter que la pente de la courbe représentative de x(t) à un instant donné correspond à la vitesse algébrique instantanée. En revanche, la pente moyenne entre deux instants correspond à la vitesse algébrique moyenne entre ces deux instants. La vitesse algébrique instantanée n'est pas forcément égale à la vitesse algébrique moyenne. Par contre, si la pente est constante sur une certaine durée (c'est à dire si la courbe est un segment de droite sur cet intervalle de temps), alors la vitesse algébrique instantanée est égale à la vitesse algébrique moyenne entre deux points appartenant à ce segment de droite.

A quoi correspond la courbure de la courbe représentative de x(t) ?

On peut dire que la représentation graphique donnée ci-dessous est courbée dans la mesure où elle n'est pas faite que de segments de droite. Cela signifie que la pente varie et donc que la vitesse algébrique varie elle aussi. Lorsque la vitesse algébrique varie, il y a une accélération. Par conséquent, si la courbe représentative de x(t) est incurvée, c'est que l'objet accélère, ou encore que sa vitesse algébrique varie.
Il est possible de visualiser les changements de pente sur la courbe ci-dessous en faisant glisser le point vert horizontalement. La première bosse, entre 1 s1\text{ s} et 5 s5\text{ s}, représente une accélération négative puisque la pente passe d'une valeur positive (trait rouge dirigé vers le haut) à une valeur négative (trait rouge dirigé vers le bas). La seconde bosse, entre 7 s7\text{ s} et 11 s11\text{ s}, représente une accélération positive puisque la pente passe d'une valeur négative à une valeur positive.
Application : que vaut l'accélération de l'objet à l'instant t=6 st=6 \text{ s} selon la courbe ci-dessus ?
Pour résumer, si la courbe représentative de x(t) ressemble à un bol à l'envers, l'accélération est négative. Et si elle ressemble à un bol à l'endroit, l'accélération est positive. Voici un moyen pour s'en rappeler : lorsque le bol est à l'envers, toute la nourriture qu'il contient tombe, ce qui est plutôt négatif. En revanche, lorsqu'il est à l'endroit, la nourriture y reste, ce qui est plutôt positif.

Exemples d'exercices sur les courbes représentatives de x(t) :

Exemple 1 : Le morse qui avait faim

Un morse se déplace horizontalement et fait des va-et-vient cherchant de la nourriture. Son mouvement est décrit ci-dessous par la représentation graphique de sa position horizontale xx en fonction du temps tt.
Que vaut la vitesse algébrique instantanée aux instants suivants : 2 s2\text{ s}, 5 s5\text{ s} et 8 s8\text{ s} ?

Vitesse algébrique à t=2 s \,t =2\text{ s} :

On détermine la vitesse algébrique du morse à l'instant t=2 st=2\text{ s} en calculant la pente de la courbe à cet instant :
pente=x2x1t2t1(on utilise la formule de la pente)\text{pente}=\dfrac{x_2-x_1}{t_2-t_1} \qquad \text{(on utilise la formule de la pente)}
On choisit ensuite deux points faciles à repérer le long du segment de droite considéré. On prend par exemple les points (0 s,1 m)(0 \text{ s}, 1\text{ m}) et (4 s,3 m)(4 \text{ s}, 3\text{ m}), cependant d'autres points entre 0 s0\text{ s} et 4 s4\text{ s} pourraient convenir.
pente=3 m1 m4 s0 s(on choisit deux points et on reporte les valeurs de x au numrateur et les valeurs de t au dnominateur)eˊeˊ\text{pente}=\dfrac{3\text{ m}-1\text{ m}}{4\text{ s}-0\text{ s}}\qquad \text{(on choisit deux points et on reporte les valeurs de x au numérateur et les valeurs de t au dénominateur)}
pente=2 m4 s=12 m/s(on fait l’application numrique et on prcise les units)eˊeˊeˊ\text{pente}=\dfrac{2\text{ m}}{4\text{ s}}=\dfrac{1}{2} \text{ m/s}\qquad \text{(on fait l’application numérique et on précise les unités)}
La vitesse algébrique du morse à t=2 s\,t=2\text{ s} est donc de 0,5 m/s0{,}5 \text{ m/s}.

Vitesse algébrique à t=5 s\,t=5\text{ s} :

Pour déterminer la vitesse algébrique à 5 s5\text{ s}, il suffit de remarquer que la tangente à la courbe est horizontale à cet instant. La pente est donc nulle, ce qui signifie que la vitesse algébrique du morse à t=5 s\,t=5\text{ s} est de 0 m/s0 \text{ m/s}.

Vitesse algébrique à t=8 s\,t=8\text{ s} :

pente=x2x1t2t1(on utilise la formule de la pente)\text{pente}=\dfrac{x_2-x_1}{t_2-t_1} \qquad \text{(on utilise la formule de la pente)}
On choisit les points des extrémités du segment de droite, à savoir les points (6 s,3 m)(6 \text{ s}, 3\text{ m}) et (9 s,0 m)(9 \text{ s}, 0\text{ m}).
pente=0 m3 m9 s6 s(on choisit deux points et on reporte les valeurs de x au numrateur et les valeurs de t au dnominateur)eˊeˊ\text{pente}=\dfrac{0\text{ m}-3\text{ m}}{9\text{ s}-6\text{ s}}\qquad \text{(on choisit deux points et on reporte les valeurs de x au numérateur et les valeurs de t au dénominateur)}
pente=3 m3 s=1 m/s(on fait l’application numrique et on prcise les units)eˊeˊeˊ\text{pente}=\dfrac{-3\text{ m}}{3\text{ s}}=-1 \text{ m/s}\qquad \text{(on fait l’application numérique et on précise les unités)}
La vitesse algébrique du morse à t=8 s\,t=8\text{ s} est donc de 1 m/s-1 \text{ m/s}.

Exemple 2 : Vol d'un oiseau

La courbe ci-dessous montre le mouvement d'un oiseau, volant vers le bas puis vers le haut, dont le mouvement est représenté par sa position verticale yy en fonction du temps tt. Répondre aux questions suivantes :
Quelle est la vitesse algébrique moyenne de l'oiseau entre les instants t=0 st=0\text{ s} et t=10 st=10\text{ s} ?
Quelle est la vitesse moyenne de l'oiseau entre les instants t=0 st=0\text{ s} et t=10 st=10\text{ s} ?

Vitesse algébrique moyenne de l'oiseau entre les instants t=0 st=0\text{ s} et t=10 st=10\text{ s} :

Pour déterminer la vitesse algébrique moyenne entre les instants t=0 st=0\text{ s} et t=10 st=10\text{ s}, on calcule la pente moyenne de la courbe entre ces deux instants. Graphiquement, cela revient à déterminer la pente du segment de droite qui relierait les deux extrémités de la courbe.
pente=x2x1t2t1(on utilise la formule de la pente)\text{pente}=\dfrac{x_2-x_1}{t_2-t_1} \qquad \text{(on utilise la formule de la pente)}
Les deux extrémités de la courbe correspondent au point de départ (0 s,7 m)(0 \text{ s}, 7\text{ m}) et au point d'arrivée (10 s,6 m)(10 \text{ s}, 6\text{ m}).
pente=6 m7 m10 s0 s(on choisit les points de dpart et d’arrive de l’intervalle de temps et on reporte les valeurs adquates)eˊeˊeˊ\text{pente}=\dfrac{6\text{ m}-7\text{ m}}{10\text{ s}-0\text{ s}}\qquad \text{(on choisit les points de départ et d'arrivée de l'intervalle de temps et on reporte les valeurs adéquates)}
pente=1 m10 s=0,1 m/s(on fait l’application numrique et on prcise les units)eˊeˊeˊ\text{pente}=\dfrac{-1\text{ m}}{10\text{ s}}=-0{,}1 \text{ m/s}\qquad \text{(on fait l’application numérique et on précise les unités)}
La vitesse algébrique moyenne de l'oiseau entre les instants t=0 st=0\text{ s} et t=10 st=10\text{ s} est donc de 0,1 m/s-0{,}1 \text{ m/s}.

Vitesse moyenne de l'oiseau entre les instants t=0 st=0\text{ s} et t=10 st=10\text{ s} :

Par définition, la vitesse moyenne est la distance parcourue divisée par l'intervalle de temps. Pour déterminer la distance parcourue, il suffit d'additionner les longueurs des différents déplacements du trajet. Entre les instants t=0 st=0\text{ s} et t=2,5 st=2{,}5\text{ s}, l'oiseau s'est déplacé de 5 m5\text{ m} vers le bas. Puis, entre les instants t=2,5 st=2{,}5\text{ s} et t=5 st=5\text{ s}, l'oiseau n'a pas bougé. Enfin, entre les instants t=5 st=5\text{ s} et t=10 st=10\text{ s}, l'oiseau s'est déplacé de 4 m4\text{ m} vers le haut. La distance totale parcourue est donc la suivante : distance=9 m\text{distance}=9\text{ m}.
On divise maintenant ce résultat par l'intervalle de temps pour obtenir la vitesse moyenne VmoyV_{moy} :
Vmoy=distanceΔt(on utilise la formule de la vitesse moyenne)V_{moy}=\dfrac{\text{distance}}{\Delta t} \quad\text{(on utilise la formule de la vitesse moyenne)}
Vmoy=9 m10 s=0,9 m/s(on reporte les valeurs, on fait l’application numrique et on prcise les units)eˊeˊeˊV_{moy}=\dfrac{9\text{ m}}{10\text{ s}}=0{,}9\text{ m/s} \quad\text{(on reporte les valeurs, on fait l'application numérique et on précise les unités)}
La vitesse moyenne de l'oiseau entre les instants t=0 st=0\text{ s} et t=10 st=10\text{ s} est donc de 0,9 m/s0{,}9 \text{ m/s}.
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