Why the acceleration is negative when the curvature of the graph look like upside down bowl??

L accélération est négative lorsque la force exercee à une direction qui freine le déplacement initial Agnès laurenty

Contenu principal

Pour tout savoir sur la courbe représentative de x(t)

Que peut-on déduire de la courbe représentant la position en fonction du temps ?

À quoi sert la courbe représentative de x(t) ?

Pour beaucoup de gens, se retrouver face à une courbe, c'est un peu comme aller chez le dentiste : cela fait naître un vague sentiment d'inquiétude avec l'envie d'en finir au plus vite. Pourtant, les représentations graphiques de la position en fonction du temps sont un moyen efficace pour visualiser un grand nombre d'informations concernant le mouvement d'un objet.

Que représente l'axe vertical sur la courbe représentative de x(t) ?

L'axe vertical représente la position d'un objet. Grâce à la courbe ci-dessous, on peut par exemple déterminer pour chaque instant (valeurs notées sous l'axe horizontal, en secondes) la position de l'objet considéré (valeurs notées à gauche de l'axe vertical, en mètres).

Sur la représentation graphique ci-dessous, il est possible de faire glisser le point vert horizontalement pour choisir différents instants et ainsi voir comment la position évolue.

Application : Quelle est la position de l'objet à l'instant t, equals, 5 secondes selon la courbe ci-dessus ?

[Réponse]

Que représente la pente de la courbe représentative de x(t) ?

La pente de la courbe représentative de x(t) correspond à la vitesse algébrique de l'objet. La valeur de cette pente est donc la valeur de la vitesse algébrique de l'objet à un instant donné.

Pour mieux comprendre, on considère la courbe représentative de x(t) suivante :

[Pour commencer, pourquoi l'axe vertical s'appelle-t-il x ?]

La pente de cette courbe est définie comme suit : start text, p, e, n, t, e, end text, equals, start fraction, start text, v, a, r, i, a, t, i, o, n, space, v, e, r, t, i, c, a, l, e, end text, divided by, start text, v, a, r, i, a, t, i, o, n, space, h, o, r, i, z, o, n, t, a, l, e, end text, end fraction, equals, start fraction, x, start subscript, 2, end subscript, minus, x, start subscript, 1, end subscript, divided by, t, start subscript, 2, end subscript, minus, t, start subscript, 1, end subscript, end fraction.

Cette expression de la pente est la même que celle de la vitesse algébrique : v, equals, start fraction, delta, x, divided by, delta, t, end fraction, equals, start fraction, x, start subscript, 2, end subscript, minus, x, start subscript, 1, end subscript, divided by, t, start subscript, 2, end subscript, minus, t, start subscript, 1, end subscript, end fraction. La pente de la courbe représentative de x(t) correspond donc à la vitesse algébrique.

Cela est aussi vrai lorsque la pente de la courbe donnant x(t) varie. Sur l'exemple suivant, le trait rouge montre la pente à un instant donné. Il est possible de faire glisser le point vert horizontalement pour suivre l'évolution de la pente selon l'instant considéré.

La pente de la courbe entre les instants t, equals, 0, start text, space, s, end text et t, equals, 3, start text, space, s, end text est positive puisque le trait rouge est dirigé vers le haut. Cela signifie que la vitesse algébrique est positive et ainsi que l'objet se déplace dans la direction positive.

La pente de la courbe entre les instants t, equals, 3, start text, space, s, end text et t, equals, 9, start text, space, s, end text est négative puisque le trait rouge est dirigé vers le bas. Cela signifie que la vitesse algébrique est négative et ainsi que l'objet se déplace dans la direction négative.

La pente de la courbe est nulle à l'instant t, equals, 3, start text, space, s, end text puisque le trait rouge est horizontal. Cela signifie que la vitesse algébrique est nulle et ainsi que l'objet est momentanément au repos.

Application : que vaut la vitesse algébrique de l'objet à l'instant t, equals, 9, start text, space, s, end text selon la courbe ci-dessus ?

[Réponse]

La vitesse algébrique peut être instantanée ou moyenne. Il est important de noter que la pente de la courbe représentative de x(t) à un instant donné correspond à la vitesse algébrique instantanée. En revanche, la pente moyenne entre deux instants correspond à la vitesse algébrique moyenne entre ces deux instants. La vitesse algébrique instantanée n'est pas forcément égale à la vitesse algébrique moyenne. Par contre, si la pente est constante sur une certaine durée (c'est-à-dire si la courbe est un segment de droite sur cet intervalle de temps), alors la vitesse algébrique instantanée est égale à la vitesse algébrique moyenne entre deux points appartenant à ce segment de droite.

[Pourquoi la vitesse algébrique instantanée est-elle égale à la vitesse algébrique moyenne sur un segment de droite ?]

À quoi correspond la courbure de la courbe représentative de x(t) ?

On peut dire que la représentation graphique donnée ci-dessous est courbée dans la mesure où elle n'est pas faite que de segments de droite. Cela signifie que la pente varie et donc que la vitesse algébrique varie elle aussi. Lorsque la vitesse algébrique varie, il y a une accélération. Par conséquent, si la courbe représentative de x(t) est incurvée, c'est que l'objet accélère, ou encore que sa vitesse algébrique varie.

Il est possible de visualiser les changements de pente sur la courbe ci-dessous en faisant glisser le point vert horizontalement. La première bosse, entre 1, start text, space, s, end text et 5, start text, space, s, end text, représente une accélération négative puisque la pente passe d'une valeur positive (trait rouge dirigé vers le haut) à une valeur négative (trait rouge dirigé vers le bas). La seconde bosse, entre 7, start text, space, s, end text et 11, start text, space, s, end text, représente une accélération positive puisque la pente passe d'une valeur négative à une valeur positive.

Application : que vaut l'accélération de l'objet à l'instant t, equals, 6, start text, space, s, end text selon la courbe ci-dessus ?

[Réponse]

Pour résumer, si la courbe représentative de x(t) ressemble à un bol à l'envers, l'accélération est négative. Et si elle ressemble à un bol à l'endroit, l'accélération est positive. Voici un moyen pour s'en souvenir : lorsque le bol est à l'envers, toute la nourriture qu'il contient tombe, ce qui est plutôt négatif. En revanche, lorsqu'il est à l'endroit, la nourriture y reste, ce qui est plutôt positif.

[Cela signifie-t-il qu'un bol à l'envers correspond toujours à un ralentissement ?]

Exemples d'exercices sur les courbes représentatives de x(t) :

Exemple 1 : Le morse qui avait faim

Un morse se déplace horizontalement et fait des va-et-vient cherchant de la nourriture. Son mouvement est décrit ci-dessous par la représentation graphique de sa position horizontale x en fonction du temps t.

Que vaut la vitesse algébrique instantanée aux instants suivants : 2, start text, space, s, end text, 5, start text, space, s, end text et 8, start text, space, s, end text ?

Vitesse algébrique à t, equals, 2, start text, space, s, end text :

On détermine la vitesse algébrique du morse à l'instant t, equals, 2, start text, space, s, end text en calculant la pente de la courbe à cet instant :

start text, p, e, n, t, e, end text, equals, start fraction, x, start subscript, 2, end subscript, minus, x, start subscript, 1, end subscript, divided by, t, start subscript, 2, end subscript, minus, t, start subscript, 1, end subscript, end fraction, start text, left parenthesis, o, n, space, u, t, i, l, i, s, e, space, l, a, space, f, o, r, m, u, l, e, space, d, e, space, l, a, space, p, e, n, t, e, right parenthesis, end text

On choisit ensuite deux points faciles à repérer le long du segment de droite considéré. On prend par exemple les points left parenthesis, 0, start text, space, s, end text, comma, 1, start text, space, m, end text, right parenthesis et left parenthesis, 4, start text, space, s, end text, comma, 3, start text, space, m, end text, right parenthesis, cependant d'autres points entre 0, start text, space, s, end text et 4, start text, space, s, end text pourraient convenir.

\text{pente}=\dfrac{3\text{ m}-1\text{ m}}{4\text{ s}-0\text{ s}}\qquad \text{(on choisit deux points et on reporte les valeurs de x au numérateur et les valeurs de t au dénominateur)}

start text, p, e, n, t, e, end text, equals, start fraction, 3, start text, space, m, end text, minus, 1, start text, space, m, end text, divided by, 4, start text, space, s, end text, minus, 0, start text, space, s, end text, end fraction, start text, left parenthesis, o, n, space, c, h, o, i, s, i, t, space, d, e, u, x, space, p, o, i, n, t, s, space, e, t, space, o, n, space, r, e, p, o, r, t, e, space, l, e, s, space, v, a, l, e, u, r, s, space, d, e, space, x, space, a, u, space, n, u, m, e, with, \', on top, r, a, t, e, u, r, space, e, t, space, l, e, s, space, v, a, l, e, u, r, s, space, d, e, space, t, space, a, u, space, d, e, with, \', on top, n, o, m, i, n, a, t, e, u, r, right parenthesis, end text

start text, p, e, n, t, e, end text, equals, start fraction, 2, start text, space, m, end text, divided by, 4, start text, space, s, end text, end fraction, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, start text, space, m, slash, s, end text, start text, left parenthesis, o, n, space, f, a, i, t, space, l, ’, a, p, p, l, i, c, a, t, i, o, n, space, n, u, m, e, with, \', on top, r, i, q, u, e, space, e, t, space, o, n, space, p, r, e, with, \', on top, c, i, s, e, space, l, e, s, space, u, n, i, t, e, with, \', on top, s, right parenthesis, end text

La vitesse algébrique du morse à t, equals, 2, start text, space, s, end text est donc de 0, comma, 5, start text, space, m, slash, s, end text.

Vitesse algébrique à t, equals, 5, start text, space, s, end text :

Pour déterminer la vitesse algébrique à 5, start text, space, s, end text, il suffit de remarquer que la tangente à la courbe est horizontale à cet instant. La pente est donc nulle, ce qui signifie que la vitesse algébrique du morse à t, equals, 5, start text, space, s, end text est de 0, start text, space, m, slash, s, end text.

Vitesse algébrique à t, equals, 8, start text, space, s, end text :

On choisit les points des extrémités du segment de droite, à savoir les points left parenthesis, 6, start text, space, s, end text, comma, 3, start text, space, m, end text, right parenthesis et left parenthesis, 9, start text, space, s, end text, comma, 0, start text, space, m, end text, right parenthesis.

\text{pente}=\dfrac{0\text{ m}-3\text{ m}}{9\text{ s}-6\text{ s}}\qquad \text{(on choisit deux points et on reporte les valeurs de x au numérateur et les valeurs de t au dénominateur)}

start text, p, e, n, t, e, end text, equals, start fraction, 0, start text, space, m, end text, minus, 3, start text, space, m, end text, divided by, 9, start text, space, s, end text, minus, 6, start text, space, s, end text, end fraction, start text, left parenthesis, o, n, space, c, h, o, i, s, i, t, space, d, e, u, x, space, p, o, i, n, t, s, space, e, t, space, o, n, space, r, e, p, o, r, t, e, space, l, e, s, space, v, a, l, e, u, r, s, space, d, e, space, x, space, a, u, space, n, u, m, e, with, \', on top, r, a, t, e, u, r, space, e, t, space, l, e, s, space, v, a, l, e, u, r, s, space, d, e, space, t, space, a, u, space, d, e, with, \', on top, n, o, m, i, n, a, t, e, u, r, right parenthesis, end text

start text, p, e, n, t, e, end text, equals, start fraction, minus, 3, start text, space, m, end text, divided by, 3, start text, space, s, end text, end fraction, equals, minus, 1, start text, space, m, slash, s, end text, start text, left parenthesis, o, n, space, f, a, i, t, space, l, ’, a, p, p, l, i, c, a, t, i, o, n, space, n, u, m, e, with, \', on top, r, i, q, u, e, space, e, t, space, o, n, space, p, r, e, with, \', on top, c, i, s, e, space, l, e, s, space, u, n, i, t, e, with, \', on top, s, right parenthesis, end text

La vitesse algébrique du morse à t, equals, 8, start text, space, s, end text est donc de minus, 1, start text, space, m, slash, s, end text.

Exemple 2 : Vol d'un oiseau

La courbe ci-dessous montre le mouvement d'un oiseau, volant vers le bas puis vers le haut, dont le mouvement est représenté par sa position verticale y en fonction du temps t. Répondre aux questions suivantes :

Quelle est la vitesse algébrique moyenne de l'oiseau entre les instants t, equals, 0, start text, space, s, end text et t, equals, 10, start text, space, s, end text ?
Quelle est la vitesse moyenne de l'oiseau entre les instants t, equals, 0, start text, space, s, end text et t, equals, 10, start text, space, s, end text ?

Vitesse algébrique moyenne de l'oiseau entre les instants t, equals, 0, start text, space, s, end text et t, equals, 10, start text, space, s, end text :

Pour déterminer la vitesse algébrique moyenne entre les instants t, equals, 0, start text, space, s, end text et t, equals, 10, start text, space, s, end text, on calcule la pente moyenne de la courbe entre ces deux instants. Graphiquement, cela revient à déterminer la pente du segment de droite qui relierait les deux extrémités de la courbe.

start text, p, e, n, t, e, end text, equals, start fraction, y, start subscript, 2, end subscript, minus, y, start subscript, 1, end subscript, divided by, t, start subscript, 2, end subscript, minus, t, start subscript, 1, end subscript, end fraction, start text, left parenthesis, o, n, space, u, t, i, l, i, s, e, space, l, a, space, f, o, r, m, u, l, e, space, d, e, space, l, a, space, p, e, n, t, e, right parenthesis, end text

Les deux extrémités de la courbe correspondent au point de départ left parenthesis, 0, start text, space, s, end text, comma, 7, start text, space, m, end text, right parenthesis et au point d'arrivée left parenthesis, 10, start text, space, s, end text, comma, 6, start text, space, m, end text, right parenthesis.

\text{pente}=\dfrac{6\text{ m}-7\text{ m}}{10\text{ s}-0\text{ s}}\qquad \text{(on choisit les points de départ et d'arrivée de l'intervalle de temps et on reporte les valeurs adéquates)}

start text, p, e, n, t, e, end text, equals, start fraction, 6, start text, space, m, end text, minus, 7, start text, space, m, end text, divided by, 10, start text, space, s, end text, minus, 0, start text, space, s, end text, end fraction, start text, left parenthesis, o, n, space, c, h, o, i, s, i, t, space, l, e, s, space, p, o, i, n, t, s, space, d, e, space, d, e, with, \', on top, p, a, r, t, space, e, t, space, d, apostrophe, a, r, r, i, v, e, with, \', on top, e, space, d, e, space, l, apostrophe, i, n, t, e, r, v, a, l, l, e, space, d, e, space, t, e, m, p, s, space, e, t, space, o, n, space, r, e, p, o, r, t, e, space, l, e, s, space, v, a, l, e, u, r, s, space, a, d, e, with, \', on top, q, u, a, t, e, s, right parenthesis, end text

start text, p, e, n, t, e, end text, equals, start fraction, minus, 1, start text, space, m, end text, divided by, 10, start text, space, s, end text, end fraction, equals, minus, 0, comma, 1, start text, space, m, slash, s, end text, start text, left parenthesis, o, n, space, f, a, i, t, space, l, ’, a, p, p, l, i, c, a, t, i, o, n, space, n, u, m, e, with, \', on top, r, i, q, u, e, space, e, t, space, o, n, space, p, r, e, with, \', on top, c, i, s, e, space, l, e, s, space, u, n, i, t, e, with, \', on top, s, right parenthesis, end text

La vitesse algébrique moyenne de l'oiseau entre les instants t, equals, 0, start text, space, s, end text et t, equals, 10, start text, space, s, end text est donc de minus, 0, comma, 1, start text, space, m, slash, s, end text.

[N'était-il pas possible de simplement déterminer le déplacement par unité de temps ?]

Vitesse moyenne de l'oiseau entre les instants t, equals, 0, start text, space, s, end text et t, equals, 10, start text, space, s, end text :

Par définition, la vitesse moyenne est la distance parcourue divisée par l'intervalle de temps. Pour déterminer la distance parcourue, il suffit d'additionner les longueurs des différents déplacements du trajet. Entre les instants t, equals, 0, start text, space, s, end text et t, equals, 2, comma, 5, start text, space, s, end text, l'oiseau s'est déplacé de 5, start text, space, m, end text vers le bas. Puis, entre les instants t, equals, 2, comma, 5, start text, space, s, end text et t, equals, 5, start text, space, s, end text, l'oiseau n'a pas bougé. Enfin, entre les instants t, equals, 5, start text, space, s, end text et t, equals, 10, start text, space, s, end text, l'oiseau s'est déplacé de 4, start text, space, m, end text vers le haut. La distance totale parcourue est donc la suivante : start text, d, i, s, t, a, n, c, e, end text, equals, 9, start text, space, m, end text.

On divise maintenant ce résultat par l'intervalle de temps pour obtenir la vitesse moyenne V, start subscript, m, o, y, end subscript :

V, start subscript, m, o, y, end subscript, equals, start fraction, start text, d, i, s, t, a, n, c, e, end text, divided by, delta, t, end fraction, start text, left parenthesis, o, n, space, u, t, i, l, i, s, e, space, l, a, space, f, o, r, m, u, l, e, space, d, e, space, l, a, space, v, i, t, e, s, s, e, space, m, o, y, e, n, n, e, right parenthesis, end text

V_{moy}=\dfrac{9\text{ m}}{10\text{ s}}=0{,}9\text{ m/s} \quad\text{(on reporte les valeurs, on fait l'application numérique et on précise les unités)}

V, start subscript, m, o, y, end subscript, equals, start fraction, 9, start text, space, m, end text, divided by, 10, start text, space, s, end text, end fraction, equals, 0, comma, 9, start text, space, m, slash, s, end text, start text, left parenthesis, o, n, space, r, e, p, o, r, t, e, space, l, e, s, space, v, a, l, e, u, r, s, comma, space, o, n, space, f, a, i, t, space, l, apostrophe, a, p, p, l, i, c, a, t, i, o, n, space, n, u, m, e, with, \', on top, r, i, q, u, e, space, e, t, space, o, n, space, p, r, e, with, \', on top, c, i, s, e, space, l, e, s, space, u, n, i, t, e, with, \', on top, s, right parenthesis, end text

La vitesse moyenne de l'oiseau entre les instants t, equals, 0, start text, space, s, end text et t, equals, 10, start text, space, s, end text est donc de 0, comma, 9, start text, space, m, slash, s, end text.

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Taha Anouar
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- Agnès Laurenty
  Posté il y a il y a 8 ans. Lien direct vers le message de Agnès Laurenty «L accélération est négati ... »
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Physique

Cours : Physique > Chapitre 1

Pour tout savoir sur la courbe représentative de x(t)

À quoi sert la courbe représentative de x(t) ?

Que représente l'axe vertical sur la courbe représentative de x(t) ?

Que représente la pente de la courbe représentative de x(t) ?

À quoi correspond la courbure de la courbe représentative de x(t) ?

Exemples d'exercices sur les courbes représentatives de x(t) :

Exemple 1 : Le morse qui avait faim

Vitesse algébrique à t, equals, 2, start text, space, s, end text :

Vitesse algébrique à t, equals, 5, start text, space, s, end text :

Vitesse algébrique à t, equals, 8, start text, space, s, end text :

Exemple 2 : Vol d'un oiseau

Vitesse algébrique moyenne de l'oiseau entre les instants t, equals, 0, start text, space, s, end text et t, equals, 10, start text, space, s, end text :

Vitesse moyenne de l'oiseau entre les instants t, equals, 0, start text, space, s, end text et t, equals, 10, start text, space, s, end text :

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Physique

Cours : Physique > Chapitre 1

À quoi sert la courbe représentative de x(t) ?

Que représente l'axe vertical sur la courbe représentative de x(t) ?

Que représente la pente de la courbe représentative de x(t) ?

À quoi correspond la courbure de la courbe représentative de x(t) ?

Exemples d'exercices sur les courbes représentatives de x(t) :

Exemple 1 : Le morse qui avait faim

Vitesse algébrique à t=2 st =2\text{ s}t=2 st, equals, 2, start text, space, s, end text :

Vitesse algébrique à t=5 st=5\text{ s}t=5 st, equals, 5, start text, space, s, end text :

Vitesse algébrique à t=8 st=8\text{ s}t=8 st, equals, 8, start text, space, s, end text :

Exemple 2 : Vol d'un oiseau

Vitesse algébrique moyenne de l'oiseau entre les instants t=0 st=0\text{ s}t=0 st, equals, 0, start text, space, s, end text et t=10 st=10\text{ s}t=10 st, equals, 10, start text, space, s, end text :

Vitesse moyenne de l'oiseau entre les instants t=0 st=0\text{ s}t=0 st, equals, 0, start text, space, s, end text et t=10 st=10\text{ s}t=10 st, equals, 10, start text, space, s, end text :

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Vitesse algébrique à t, equals, 5, start text, space, s, end text :

Vitesse algébrique à t, equals, 8, start text, space, s, end text :

Vitesse algébrique moyenne de l'oiseau entre les instants t, equals, 0, start text, space, s, end text et t, equals, 10, start text, space, s, end text :

Vitesse moyenne de l'oiseau entre les instants t, equals, 0, start text, space, s, end text et t, equals, 10, start text, space, s, end text :