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6e année secondaire - 4 h

Cours : 6e année secondaire - 4 h > Chapitre 7 

Leçon 2: Calcul d'aire par une somme de Riemann
Mathématiques
6e année secondaire - 4 h
Intégrales et théorème fondamental de l'analyse
Calcul d'aire par une somme de Riemann
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Utiliser la méthode des rectangles

Google Classroom
L'exposé de la méthode.
Soit à déterminer une valeur approchée de l'aire de ce domaine :
A function is graphed. The x-axis is unnumbered. The graph is a curve. The curve starts on the positive y-axis, moves upward concave up and ends in quadrant 1. An area between the curve and the axes is shaded.
Une idée est de construire ces rectangles :
The shaded area below the curve is divided into 4 rectangles of equal width. Each rectangle moves upward from the x-axis and touches the curve at the top left corner.
Plus il y a de rectangles, meilleure est l'approximation :
The shaded area below the curve is divided into 8 rectangles of equal width.
The shaded area below the curve is divided into 16 rectangles of equal width.
La somme des aires de ces rectangles donnent une valeur approchée de l'intégrale de la fonction. On peut utiliser soit des rectangles à droite, soit des rectangles à gauche.

Rectangles à droite et rectangles à gauche

Il existe différentes manières de construire les rectangles. On peut choisir comme longueur de chaque rectangle l'image par la fonction de la borne inférieure (extrémité gauche) de l'intervalle sur lequel il est construit. On dit que l'on construit des rectangles à gauche.
The shaded area below the curve is divided into 4 rectangles of equal width. Each rectangle moves upward from the x-axis and touches the curve at the top left corner. Therefore, each rectangle is below the curve.
Dans le cas des rectangles à droite, la longueur de chaque rectangle est égale à l'image par la fonction de la borne supérieure (extrémité droite) de l'intervalle sur lequel il est construit.
The shaded area below the curve is divided into 4 rectangles of equal width. Each rectangle moves upward from the x-axis and touches the curve at the top right corner. Therefore, each rectangle moves upward above the curve.
Aucune de ces deux approximations n'est meilleure que l'autre.
Exercice 1
La figure ci-dessous correspond-elle au calcul de l'aire des rectangles à droite ou au calcul de l'aire des rectangles à gauche ?
Choisissez une seule réponse :

Subdivisions ou sous-intervalles

Pour approximer cette aire par la méthode des rectangles, on découpe l'intervalle de définition de x en " subdivisions " ou " sous-intervalles " sur lesquels on construit des rectangles. Le nombre de rectangles est donc égal au nombre de subdivisions.
Les subdivisions peuvent être égales, tous les rectangles ont alors la même largueur, ou non égales.
subdivisions égalessubdivisions non égales
The shaded area below the curve is divided into 3 rectangles of equal width. Each rectangle moves upward from the x-axis and touches the curve at the top left corner.
The shaded area below the curve is divided into 3 rectangles of unequal width. Each rectangle moves upward from the x-axis and touches the curve at the top left corner.
Exercice 2
Quelle est la description des subdivisions ?
Choisissez une seule réponse :

Exercices d'approximation de l'aire d'un domaine avec la méthode des rectangles

On vous demande d'approcher l'aire du domaine délimité par la courbe représentative de la fonction g, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=2 et x=6.
Function g is graphed. The x-axis goes from 0 to 9. The graph consists of a smooth curve. The curve starts in quadrant 4, moves upward to a relative maximum at about (3, 7), moves downward to a relative minimum at about (4.4, 3.5), moves upward and ends in quadrant 1. A region between the curve and the x-axis is shaded between x = 2 and x = 6.
Cette approximation doit être faite en utilisant des rectangles à gauche avec quatre subdivisions égales.
The graph of function g has the shaded region divided into 4 rectangles, each with width of 1. Each rectangle touches the curve at the top left corner. The corners are at (2, 3), (3, 7), (4, 6), and (5, 4).
Remarque: Ce sont des rectangles à gauche, donc la longueur de chaque rectangle est égale à l'image de la borne inférieure du sous-intervalle sur lequel il est construit.
On additionne les aires des rectangles, on obtient 20 unités d'aire, valeur approchée de l'aire du domaine considéré.
Exercice 3
Quelle valeur approchée de l'aire du domaine délimité par la courbe représentative de la fonction h, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=−2 et x=4 obtient-on si on utilise des rectangles à droite avec trois subdivisions égales ?
La courbe représentative de la fonction passe par les points de coordonnées (−2 ;0), (0 ;4), (2 ;6) et (4 ;4).
Choisissez une seule réponse :

Maintenant, quelques approximations sans l'aide de représentations graphiques.

On vous demande maintenant d'approcher l'aire du domaine délimité par la courbe représentative de la fonction f l'axe des abscisses et les droites d'équation x=1 et x=10 en utilisant des rectangles à droite avec trois subdivisions égales. On vous donne un tableau de valeurs de la fonction f.
x14710
f(x)6835
Dans une première étape, vous devez déterminer la largeur de chaque rectangle. La longueur de l'intervalle de définition de la fonction est égale à 10−1=9. Comme on considère trois subdivisions égales, la largeur de chaque rectangle sera égale à 9÷3=3.
Ensuite, il faut déterminer la longueur de chaque rectangle. Le premier rectangle est construit sur l'intervalle [1 ; 4]. Comme on utilise des rectangles à droite, la longueur du rectangle est l'image de 4 : f(4)=8.
De la même manière, le deuxième rectangle, construit sur sur l'intervalle [4 ; 7] a pour longueur f(7)=3.
Le troisième (et dernier) rectangle a pour longueur f(10)=5.
On calcule ensuite les aires de chaque rectangle.
Premier rectangleDeuxième rectangleTroisième rectangle
Largeur333
Longueur835
Aire3×8=243×3=93×5=15
On additionne les aires des trois rectangles, on obtient 48 unités d'aire.
Exercice 4
Approcher l'aire du domaine délimité par la courbe représentative de la fonction g, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=10 et x=16 en utilisant des rectangles à gauche avec trois subdivisions égales.
x10121416
g(x)5177
La valeur approchée de l'aire est
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi
unités d'aire.

Autre exercice : on vous demande d'approcher l'aire du domaine délimité par la courbe représentative de la fonction f définie par f(x)=2x, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=−3 et x=3 en utilisant des rectangles à droite avec trois subdivisions égales.
La longueur de l'intervalle de définition de la fonction est égale à : 3−(−3)=6. Donc chaque rectangle a pour largeur 6÷3=2.
Le premier rectangle est construit sur [−3 ; −1], sa longueur est donc f(−1)=2−1=0,5. De même, la longueur du deuxième rectangle est f(1)=21=2 et la longueur du troisième rectangle est f(3)=23=8.
Premier rectangleDeuxième rectangleTroisième rectangle
Largeur222
Longueur0,528
Aire2×0,5=12×2=42×8=16
La valeur approchée de l'aire est 21 unités d'aire.
Exercice 5
Approcher l'aire du domaine délimité par la courbe représentative de la fonction h définie par h(x)=3x , l'axe des abscisses et les droites d'équation x=0 et x=1,5 en utilisant des rectangles à droite avec 3 subdivisions égales.
La valeur approchée de l'aire est
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi
unités d'aire.

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercises.

Les sommes obtenues par la méthode des rectangles sont des valeurs approchées par défaut ou par excès de l'aire

Ce sont des approximations de l'aire sous une courbe représentative d'une fonction, elles correspondent donc à une valeur approchée par excès (une surestimation) ou à une valeur approchée par défaut (une sous-estimation) de la valeur de cette aire.
Exercice 6
La valeur approchée de l'aire obtenue en utilisant les rectangles construits ci-dessous est-elle une surestimation ou une sous-estimation de l'aire du domaine considéré ?
Choisissez une seule réponse :

Exercice 7
Pour trouver une valeur approchée de l'aire du domaine délimité par la courbe représentative de la fonction g, l'axe des abscisses et les droites d'équations x=2 et x=8, on utilise des rectangles à gauche et des rectangles à droite.
Selon le cas, obtient-on une surestimation ou une sous-estimations de cette aire ? Choisir les réponses.
Les rectangles à gauche sont entièrement
de la courbe, donc la valeur approchée obtenue en utilisant des rectangles à gauche est une
de l'aire.
Les rectangles à droite sont entièrement
de la courbe, donc la valeur approchée obtenue en utilisant des rectangles à droite est une
de l'aire.

Exercice 8
Soit la courbe représentative de la fonction continue g.
On veut approcher l'aire du domaine délimité par la courbe représentative de la fonction g, l'axe des abscisses et les droites d'équations x=−7 et x=7 en appliquant la méthode des rectangles.
Ordonner les aires ci-dessous dans l'ordre croissant en partant du haut.
1

Exercice 9
On donne ce tableau de valeurs de la fonction g continue et croissante sur ℝ.
x−2381318
g(x)1319283141
On veut approcher l'aire du du domaine délimité par la courbe représentative de la fonction g, l'axe des abscisses et les droites d'équations x=−2 et x=18 appliquant la méthode des rectangles avec quatre subdivisions égales.
Ordonner les aires ci-dessous dans l'ordre croissant en partant du haut.
1

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.
Remarque : Si la fonction est croissante sur [a ;b], l'aire obtenue en utilisant les rectangles à gauche est une sous-estimation de l'aire sous la courbe et l'aire obtenue en utilisant les rectangles à droite est une surestimation de l'aire sous la courbe. Si la fonction est décroissante sur [a ;b], c'est l'inverse. Il faut donc tenir compte du sens de variation de la fonction et de la méthode utilisée pour savoir si on obtient une surestimation ou une sous-estimation de l'aire.

Les points clés à retenir

Approximation de l'aire d'un domaine avec des rectangles

La première chose à laquelle vous devez penser lorsque vous entendez « méthode des rectangle » est que vous devez utiliser des rectangles pour approcher l'aire du domaine compris entre l'axe des abscisses et la courbe représentative de la fonction :
A function is graphed. The x-axis is unnumbered. The graph is a curve. The curve starts on the positive y-axis, moves upward concave up and ends in quadrant 1. An area between the curve and the axes in quadrant 1 is shaded. The shaded area is divided into 4 rectangles of equal width that touch the curve at the top left corners.

Précision de l'approximation et nombre de subdivisions

Lorsque le nombre de sous-intervalles augmente, l'approximation de l'aire sous la courbe devient plus précise. L’approximation sera donc d’autant meilleure que le découpage de l'intervalle en rectangles est important.
The graph of the function has the region under the curve divided into 6 rectangles of equal width, touching the curve at the top left corners.

Rectangles à gauche ou rectangles à droite

Ne pas confondre : si on utilise des rectangles à gauche, la longueur de chaque rectangle est égale à l'image par la fonction de l'extrémité gauche de l'intervalle sur lequel il est construit. Si on utilise des rectangles à droite, la longueur de chaque rectangle est égale à l'image par la fonction de l'extrémité droite de l'intervalle sur lequel il est construit.
Rectangles à gaucheRectangles à droite
The graph of the function has the region under the curve divided into 4 rectangles of equal width, touching the curve at the top left corners.
The graph of the function has the region under the curve divided into 4 rectangles of equal width, touching the curve at the top right corners.

Surestimation et sous-estimation

Lorsqu'on utilise la méthode des rectangles, on obtient une sous-estimation ou une surestimation de l'aire. Il est possible de prévoir si la méthode des rectangles donne une valeur approchée par défaut ou par excès de l'aire.
Selon le sens de variation de la fonction et la méthode choisie (rectangles à gauche ou rectangles à droite), il est possible de prévoir si la valeur de l'aire obtenue sera une surestimation ou une sous-estimation.
Sens de variationRectangles à gaucheRectangles à droite
CroissanteSous-estimationSurestimation
DécroissanteSurestimationSous-estimation

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