Exemple d'une matrice de projection sur un sous-espace

dans cette vidéo on va considérer un sou espace v2r 4 et on va dire que v est égal au vectes de deux vecteurs un premier vecteur qui vaut 1 001 et un deuxième vecteur qui vaut 0 1 0 1 donc c'est bien sous espace de r4 et en ce qu'on dit c'est que ici ces deux vecteurs sont bien linéairement indépendant vu que ici on a un ici on a 1 0 aucune combinaison de nerfs de ce vecteur pourrait donner le 1,6 et de la même façon et si on a un ici 1 0 du coup on ne peut pas obtenir ce vecteur qui grâce à ce lieu donc là on a bien une base de v et on peut construire du coup comme dans la vidéo précédente la matrice à à partir des vecteurs de la base devait donc on va prendre la matrice à qui veut être un 0 0 1 0 1 0 1 donc dont les vecteurs colonnes sont les vecteurs de la base devait est ce qu'on a vu dans la vidéo précédente c'est que si on prend un vecteur x donc si ça va être un vecteur de r4 qu'on se place dans r4 alors on sait que la projection la projection sur v demont vecteur x est égale à la c'est un peu compliqué c'est à fois l' inverse de la matrice hâter la transposer de la fois un donc je tu ils inversent fois la matrice à transposer fois le vecteur x et on avait dit que ça dans le cas général le c'était assez compliqué à calculer cette matrice ici mais ici on va le faire dans r4 on va voir que finalement dans des cas assez simple c'est possible donc on a notre matrice à la première chose à faire c'est de calculer la matrice transposer doit donc à transposer c'est égal à quoi alors on va dire que la première ligne c'est la première colonne de à la deuxième ligne c'est la deuxième colonne de a donc ça va être une matrice 2 x 4 donc la première ville jeddi 1 001 la timide 0,1 0,1 et du coup si je veux calcul est maintenant le produit à thé x a donc ici je vais écrire la matrice à la matrix a donc 1 0 0 1 0 1 0 1 donc ici j'ai une matrice j'ai dit deux fois 4 ici j'ai une matrice 4 x 2 le produit des matrices zone donnée une matrice 2 x 2 donc si je fais de calcul alors donc j'ai une matrice on a dit deux fois 2 la première composante ici ça va être le produit scalaires de ce vecteur ligne ici pas relevé que le premier vecteur colonnes ici donc ça fait une fois un + 0 x 0 plusieurs fois zéro plus une fois un donc ça fait deux ici ça va être le produit scalaires du ma première ligne par le deuxième la deuxième colonne donc ça fait une fois 000.00 x 0 0 1 x 1 1 et ici je vais avoir du coup le produit scalaires de la deuxième ligne par la première colonne donc ça fait zéro point 0 1 x 0 00001 fois 1-1 et pour finir les dernières composantes ici j'ai zéro x 0 0 1 x 1 1 0 0 0 1 point à 1 donc ça fait 1 + 1 2 donc ça c'est ma batterie son avis transposé de à foix à nous ce qui nous intéresse c'est la matrice inverse de la matrice transposer de la fois un alors on avait vu dans une vidéo il ya longtemps qu'on sait calculer la matrice inverse des matrices deux par deux la matrice inverse de cette matrice de par2 transposer de la fois ça va être égal à quoi c'est un sur le déterminant est ici le déterminant c'est 2 fois 2 4 moins une fois un donc ça fait 4 - 1 ça fait 3 ça fait un tiers et ensuite pour obtenir les coefficients en fait je vais faire une autre couleur je vais avoir cet élément là que j'ai retrouvé ici cet élément là que je vais retrouver ici et ensuite je prendre - les coefficients qui signifie donc moins en moins donc la gym aux matrices inverse de la matrice à témoins et du coup maintenant je peux calculer la projection sur vais de mon facteur x qui est égal à matrice à je vais écrire un 0 0 1 0 1 0 1 x mas matrice inverse de hâter la transmettent de la foi a donc c'est ici je vais mettre le 1/3 de vent pour pas qui nous gêne et du coup fois novatrice 2 - 1 - 1 2 fois matrice à transposer donc matrise à transposer fait celle-ci fois matrix 1 0 0 1 0 1 0 1 voilà donc il me reste ses calculs à faire donc pardon j'ai oublié fois le lecteur x bien sûr donc pour commencer je vais calculé le produit de ces deux matrices ici je descende donc je vais réécrire le début donc c'est égale à un tiers de matrix a donc 1 0 0 1 0 1 0 1 ici j'ai une matrice 2 par 2 2 x 2 ici j'ai une matrice de x 4 donc au final je obtenir une matrice de x 4 donc cette matrice que je vais obtenir et va être égal à quoi ici je vais avoir donc pour le premier que chiant ça va être deux fois 1 - une fois zéro donc ça fait deux pour le deuxième client se fait deux fois 0 au moins une fois un que ça fait moins 1 le troisième donc ici deux fois 0 - 1 x 0 ça fait zéro dernier j'ai deux fois un moins une fois un méfait de moins ça fait 1 et pour la deuxième ligne ici je vais avoir moins 1 fois un donc ça fait moins un plus deux fois 0 donc ça fait zéro donc ça fait moins un ici java - 1 x 0 + 2 x 1 donc ça fait deux ici je vais avoir 0 - 1 x 0 + 2 x 0 donc ça fait 2 0 et il fit je vais avoir moins une fois un + 2 donc ça fait moins 1 + 2 ça fait un très bien maintenant ici j'ai une matrice 4 x 2 ici j'ai une matrice de x 4 donc je obtenir une matrice 4 x 4 donc ici je n'oublie pas bien sûr de rajouter le x et je passe à la suite donc j'ai quoi j'ai un tiers de matrix donc ici qu'est ce que je vois je vais avoir alors ici c'est facile en fait ici j'ai 1 1 et 1 0 du coup je vais avoir à chaque fois une fois le premier coach ya enfin le coefficient de la première ni +0 fois le coefficient deuxième ligne coup en fait je vais obtenir la première ligne directement donc si j'ai 2 - 1 0 1 pour la deuxième ligne en fait je vais avoir zéro fois les collections de la première ligne plus une fois les coefficients de la deuxième ligne du coup j'ai directement à obtenir la deuxième ligne ça fait moins 1 2 0 1 pour la troisième belge et 0 fois le premier coefficient plusieurs os x les iem qualifiant de coup j'ai avoir que des héros et pour la 4e minute je vais devoir faire le calcul j'ai une foi de 2 - -1 donc ça fait 1 ici j'ai moins un plus de donc j'ai un aussi ici j'ai zéro plus zéro ça fait zéro et ici j'ai une fois un plus une fois un donc ça fait deux je n'oublie pas de remettre x ici et du coup qu'est ce que c'est ça pour ne pas oublier c'est la projection sur vais de mon facteur ix et du coup maintenant j'ai réussi à obtenir ce que je voulais c'est à dire une expression deux matrices de projection ici je ne fais pas rentrer le 1/3 dans la matrice parce que ça rendrait juste les choses un peu plus compliqué mais ici j'aime amatrice de projection j'aime amatrice de projection et donc je vois que finalement on arrive à la calculer ici d'un air 4 alors c'était dans un cas assez ça vous met finalement c'est calculable et c'est bien c'est normal que ce soit une matrice 4 par 4 parce que la projection dans mon espace v c'est une application linéaire de r4 les vecteurs de départ sont r4 dans r4 les vecteurs à l'arrivée sont aussi dans l'air 4 donc c'est pour ça que j'obtiens une matrice de projection qui est une matrice quatre par quatre