Preuve du théorème de Stokes, partie 2

on va maintenant faire la paramétrisation de notre surface et on pourra ensuite déterminé ds on va définir la fonction vectorielle de position r qui est une fonction de deux paramètres puisqu'on part à maîtriser une surface et on peut utiliser xy comme paramètre puisque cette surface peut être définie comme une fonction de x et de y c'est ce qu'on a ici donc r 2 x et de y c'est égal dans la direction de hyundai ix voit le vecteur est dans la direction de j on a y voit le vecteur j et dans la direction de cas et bien on a une fonction z qui est une fonction de x et de y dans la direction du vecteur cap et tu sais que quand on parlera maîtrise d'une surface on a besoin du domaine de définition des paramètres on a ici le domaine de définition de x et deux grecs 1 de cette région donc x et y doivent appartenir à cette région r et d'ailleurs c'est ce qu'on a déjà écrit il ya des coordonnées x et y appartiennent à cette région une paire de coordonnées x et y qui n'appartient pas à cette région ne nous permet pas d'avoir un z qui correspondent à un point de la surface maintenant qu'on a cette paramétrisation on peut réfléchir à ds et on doit faire attention à ce qu'on fait ici parce que tu sais qu'il ya des questions d'orientation ce que je vais faire c'est que je vais déjà écrire quelque chose et on verra on vérifiera si c'est correct après donc ds c'est égal au produit vectorielle des dérivées partielles de cette fonction de position par rapport à chacun des deux paramètres fois un petit morceau d'air de ce domaine ici donc c'est égal au produit vectorielle de la dérivées partielles de r par rapport à x par la dérivées partielles de r par rapport à y est dans ce cas ici nous on veut un vecteur on ne veut pas à la norme de ce produit vectorielle fois dx d y où on peut aussi écrire des grecs dx d'ailleurs on va essayer d'être plus générale ici on va écrire fois dea et alors on doit faire attention ici parce que on doit s'assurer qu'étant donné cette paramétrisation ici ce produit vectorielle là nous donne un vecteur orienté dans la bonne direction rappelle toi on a vu que le sens du chemin et l'orientation de la surface doivent être cohérents pour ça on imagine que le sens du chemin et bien c'est le sens de temps lequel on fait tourner dans lequel on vit sous plutôt oui on fait tourner un bouchon de bouteille et dans ce cas ici on est en train de dévisser le bouchon ça veut dire que le bouchon va vers le haut en davis le bouchon donc l'orientation de la surface du vecteur normal à cette surface et bien c'est vers le haut ou on peut aussi utiliser l'image du bonhomme qui marchent le long de ce chemin et avec la surface à sa gauche et bien dans ce cas sa tête pointent dans la même direction que le vecteur normal c'est à dire vers le haut de la page donc on doit s'assurer que ce vecteur qui définit l'orientation de la surface pointe ici en effet vers le haut vers le haut de la page donc ce vecteur doit être au dessus de la surface et non pas en dessous de la surface alors on va vérifier ça d'abord la dérivées partielles de r par rapport à x est bien quand x augmente on va dans cette direction là dans un vecteur qui ressemble à ça on est sûr la surface ensuite la dérivées partielles de r par rapport à y est bien quand y augmente on va on est sur la surface aussi et on va dans cette direction là maintenant pour déterminer la direction du produit vectorielles et bien on peut utiliser la règle de la main droite la règle de la main droite ici c'est du pointe son index dans la direction du premier vecteur donc là dérivées partielles de r par rapport à x du pointon majeur dans la direction du deuxième vecteur donc là dérivées partielles de r par rapport à y est dans ce cas et bien tu as tes les deux doigts qui restent sont repliées comme ça ils nous servent à rien et enfin ton pouce c'est ton pouce qui indique la direction de ce produit vectorielle is it ont poussé bien pointé vers le haut un c'est bien ce qu'on veut donc on a le bon ordre ici à la dérive et le produit vectorielle de la dérivées partielles de r par rapport à y par la dérivées partielles de r par rapport à exxon si l'ordre étaient inversés ça nous aurait donné un vecteur orienté vers le bas un vecteur en dessous de notre surface et ça aurait été correct uniquement s'ils ce chemin aller dans le sens opposé donc on a la bonne orientation on à l'orientation correcte de ce vecteur par rapport au sens du chemin qu'on a ici maintenant il faut calculer ce produit vectorielles et on va se faire un petit peu de place puisque tu sais que c'est déterminant d'une matrice 3,3 donc le produit vectorielle le produit vectorielle du de la dérivées partielles de r par rapport à x et de la dérivées partielles de r par rapport à y c'est égal aux déterminants d'une matrice alors sur la première ligne on a nos vecteurs unitaire y j k sur la deuxième ligne on a les composantes de la dérivées partielles de r par rapport à x dans la direction de chacun de ces vecteurs donc d'abord dans la direction de j ai bien dérivées partielles de x par rapport à x c1 ensuite la dérivées partielles de y par rapport à x c zéro est enfin là dérivées partielles de sède qui est une fonction de x et de y par rapport à x eh bien ces aides la dérive est partielle de z par rapport à ericsson que je vais écrire ça z1 10x ensuite sur la troisième ligne et bien c'est les composantes de ce set dérivées partielles par rapport à y donc c'est 0-1 et enfin la dérivées partielles de z par rapport à et grecs donc tout ça c'est égal à d'abord la composante associés aux vecteurs y est bien on rails cette ligne on rails cette colonne c'est zéro x y z indices y - z1 10 6 x 1 donc c'est moins la dérivées partielles de z par rapport à x ensuite on a moins le vecteur j on raye cette ligne ont réussi cette colonne on a en fois-là dérivées partielles de z par rapport à y moins à la dérive et partielle de z par rapport à x x 0 et donc la dérive et partielle de z par rapport à y est enfin plus qu'à on réessaie colonnes on rails cette ligne on a 1 x 1 - 0 x 0 c'est un donc on peut simplement laissé cas comme ça donc on peut réécrire que ce produit vectorielle ce produit vectorielle c'est égal à - là dérivées partielles de z par rapport à x fois le vecteur yves - là dérivées partielles de z par rapport à y fois le vecteur j plus le vecteur cas voilà pour ce produit vectorielle on se retrouve pour la suite dans la prochaine vidéo