Déterminant triangulaire supérieur

donc mettons que j'ai une matrice où tous les coefficients en dessous de la diagonale son zéro donc on va commencer par une matrice de dimensions de par exemple gea qui est égal à à des 0 t donc ce que tu peux voir ici c'est que eh bien tous les coefficients qui sont en dessous de la diagonale ici que j'ai dessiné et bien son zéro donc y en a qu'un sur un cas de deux dimensions et on appelle ce genre de matrix une matrice triangulaire supérieure pour ça c'est une matrix matrix triangulaire triangulaire supérieur est ce qu'on va voir c'est que ces matrices elles ont des propriétés intéressantes en ce qui concerne leur détermine alors qu'elle est le déterminant de a donc des deux à qu'est ce que ça va être eh bien ça va être à fouad et à foix des - 0 x b donc à des justes ab d'accord maintenant regardons une matrice triangulaire supérieur de dimension 3 je définis à qom et en a b c ensuite 0 d eux et ensuite 00 f donc cette maîtrise est bien triangulaire supérieur puisque j'ai que des zéros sur le dessous de la diagonale ici et maintenant on va calculer le déterminant de qu'est ce que c'est que le déterminant de à dans ce cas est bien ce que je vais faire ici c'est que je vais sélectionner par exemple ce qu'on avait vu jusqu alors c'est qu'on sélectionné ligne où il y avait le plus de zéro donc on pourrait sélectionner cette ligne là par exemple mais pour l'exemple d'après tu vas voir que c'est plus simple de sélectionner une colonne on peut aussi sélectionner les colonnes pour calculer les déterminants et ça marche exactement de la même manière c'est à dire que ici on commence par un plus un coefficient positif ici un négatif est ici un positif mais là vu que g20 ici et bien tu vas voir que le calcul du déterminant est en fait très très simple dans ce cas là donc déterminant de hacker ce que c'est c'est à x le déterminant de et bien d eux d eux des ro f ensuite eh bien je vais avoir - 0 le déterminant 2 eh bien il va me rester quoi baisser 0 fbc 0 f et ensuite plus 0 x le déterminant de bcd bcd donc là vu que cédé 0 bien ceci s'annulent il me reste juste une partie du déterminant ici à calculer et donc le déterminant de ici bien ça veut tout simplement être art d f donc tu vois que c'est assez ça donc là ce que tu peut remarquer c'est dans un cas de dimension 2 ici le déterminant de a était ad c'est à dire le produit des coefficients sur la diagonale et là on a un cas de dimensions 3d on a la même chose c'est-à-dire que le déterminant de à est aussi le produit des coefficients sur la diagonale donc il semblerait que lorsque la maîtrise et triangulaire supérieur sont déterminants c'est simplement donc le produit des coefficients sur la diagonale et donc on va essayer de prouver cette intuition là en regardant un des matrices n fois elle donc je vais effacer tout ça et on va démontrer sa avec une matrice une fois n alors une fois elle donc je vais définir ma matrice à une fois n donc une fois m donc je commence pas à 1,1 à 1,2 et cetera et cetera jusqu'à à 1 n je vais avoir tout les coefficients sur la diagonale ici à 2-2 cetera et cetera jusqu'à années1 partout ailleurs ça va être des zéros donc tout ça toute cette partie ici que j'en tour en bleu c'est que des 0 donc comment on fait pour calculer le déterminant le déterminant de a donc d'être deux à qu'est ce que c'est et bien pareil je vais sélectionner la colonne ici qui a le plus de zéro donc c'est à dire ça va être la première voilà et donc ça ça va être égal à a1 1 x quoi et bien par le déterminant de ce qui me reste c'est à dire la matrice où il ya à 2-2 et que des zéros en dessous est ici qui va jusqu'à à nnpc j'aurai à 2 n voilà et le reste eh bien ce sera zéro puisque les coefficients après son zéro donc maintenant qu'elle est le déterminant de cette matrice là eh bien ça je peux faire exactement la même chose ici c'est à dire je peux sélectionner pour calculer mon déterminant la première colonne ici donc ce que je vais avoir c'est à 1 1 x à 2 2 x le déterminant de l'asu matrix qui commence ici par à 3 3 qui va jusqu à 3 n est ici à l aine et des zéro partout ailleurs donc encore une fois une matrice triangulaire c'est à dire que je jeu si je continue comme ça je vais avoir des matrices triangulaire à chaque fois donc là je peux faire exactement la même chose je peux sélectionner la première colonne est calculé en fonction de ça et donc là tu dois commencer à voir où je veux en venir c'est à dire que si je vais jusqu'au bout donc je vais jusqu'au bout et un bout d'un moment et bien je me retrouvais avec donc à à un facteur 2 à 2,2 facteur 2 à 3 3 et cetera et cetera jusqu'à à n - 2 n - 2 et ce qui va me rester ça va être une matrice de 2 qui va être donc à n - 1 à n - 1 c'est tout petit comment ça a pu voir grand chose et ici ça va être à peine moins 1 à n voilà mon niveau à peu près clair et la années60 donc ce cas là on le connaît c'est le cas de deux qu'on a vu tout à l'heure et on sait que et bien le déterminant de cette matrice là ça va être ta haine - z - 1 x à elle c'est à dire que ça va être cette diagonale ici donc au total qu'est ce qu'on a au total eh bien on a que le déterminant le déterminant de à ça va être égal à 1 1 à 2 2 et cetera et cetera jusqu'à à m en d'autres termes le déterminant d'une matrice triangulaire supérieur quelle que soit sa dimension va être égal au produit des coefficients sur la diagonale donc ça c'est assez pratique parce que ça veut dire que c'est très facile de calculer du coup les déterminants d'une matrice triangulaire supérieur