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Applications linéaires

. Créé par Sal Khan.

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Transcription de la vidéo

donc maintenant tu sais ce que c'est qu'une transformation et bien on va parler d'un certain type de transformation c'est à dire les transformations linéaire donc transformation linéaire ce qui va bien avec l'algèbre linéaire comme tu vas le voir par la suite donc transformation linéaire donc qu'est-ce qu'une transformation linéaire donc une transformation linéaire donc une transformation et li ene r si et seulement si elles répondent à deux conditions la première des conditions c'est que et bien la transformer de la somme de deux vecteurs de l'ensemble de départ est égale à la somme des transformer individuelles de ces vecteurs voilà donc en d'autres termes la transformer 2 a + b est égale à la transformer 2 a plus la transformer 2 b donc ça c'est la première condition est la deuxième condition c'est que la transformer et bien d' un scalaire x un vecteur de l'ensemble du domaine de définition est égal à ceux scalaires x la transformer de ce vecteur ici de ce vecteur donc en d'autres termes la transformation linéaire conserve les opérations d'addition vectorielle d'accord et donc de soustraction et aussi deux produits par un scalaire donc si une transformation et bien satisfait c'est deux critères là et bien c'est une transformation l'inr donc on va voir ensemble et si comment on fait en fait pour montrer qu'une donc une transformation et linéaire donc on va prendre un exemple de transformation donc par exemple on va prendre et bien on va prendre tes qui va prendre un vecteur pardon qui va prendre un vecteur dans r2 et qui va transformer ce vecteur là en un autre vecteur dans r2 qui va être x1 plus x 2 et 3 x impôts la deuxième corde donc en d'autres termes si je prends deux vecteurs a et b donc à dents r2 est définie par à 1 à 2 donc il ya deux coordonnées et b est définie par b1 b2 ou a1 a2 b1 b2 sont tous des nombreux réel donc qu'est ce que c'est que la transformer 2 a donc la transformer 2 à eh bien c'est la transformer donc du vecteur a1 a2 et ça eh bien ça me donne à un plus à deux groupes à 207 1 2 et 3 dha de la même manière la transformer du vecteur d ça va me donner et bien d un plus b 2 et 3 dis donc qu'est ce que c'est que la transformer 2 a plus la transformer 2 b dans ce cas là et bien c'est tout simplement j'additionne en fait les coordonnées la première coordonnées de chacun des vecteurs ensemble donc ça me fait à un plus à 2 + b un plus b2 et ici ça me fait 3 à 1 + 3 b 1 voilà donc ça c'est pour le premier côté et bien de mon équation et si maintenant je vais essayer de trouver la transformer de l'addition des vecteurs à suspect de la somme de ces électeurs là donc qu'est ce que c'est que a + b et bien a + b dans ce cas là ça va être tout simplement à un + b 1 et à 2 + b 2 c'est juste de la somme de vecteurs ici donc tt2 à plus d donc c'est la transformer de la somme de ses pectoraux là et ça va donc me faire et bien ici x1 +62 donc à un plus béat plus à 2 + b 2 à 2 plus p2 et pour la 2ème coordonnées ça va me faire trois fois la première cordée les ducks 3 facteurs 2 à 1 + b est ce qu'on voit ici est bien et ce qui est important c'est qu'on se satisfait donc la première condition des transformations linéaire c'est qu'on voit que la transformer 2 a plus la transformer 2 bd gala transformé de a + b dans ce cas là donc on a on est ok sur cette première condition ici maintenant si on regarde est bien la deuxième condition si on garde la deuxième condition c'est à dire si on regarde qu'est ce que c'est que la transformer dans ce cas l'air par le vecteur donc ça eh bien c'est la même chose que de transformer je vais écrire ça c'est la même chose que de transformer le vecteur caa1 et ca de justus de multiplier le scalaires par mon vecteur ici et donc ça qu'est ce que ça va me donner ici alors ça va me donner j'ai de moins en moins de place mais on va y arriver ça va me donner à donc la première coordonnées cx1 +62 donc cessé à un plus c'est à 2 ici et là deuxième coordonner ces 3 x 1 donc ces trois c'est 2 à et maintenant qu'est ce que c'est que ces x la transformer 2 à bien ces x a transformé deux à la transformer 2 a gelé juste ici donc ça va être juste être ces facteurs ici deux à un plus à 2 à un plus à deux groupes se voient là et ici ça va être trois c'est 2 à 1 et donc encore une fois je me retrouve avec l'égalité c'est à dire que la transformer 2 c x a été gallas et fois la transformer 2 a donc eh bien je satisfais cette deuxième condition est ça veut dire que et bien m'a transformé tu es ici telles que je les définissent et une transformation linéaire voilà donc on va faire un deuxième exemple juste pour voir comment on fait aussi dans d'autres cas donc je juste effacer tout ça là parce que c'est vrai qu'on n'y voit pas très clair donc on va effacer sa voix la up et voilà donc on n'a pas besoin de ça ça non plus hop on enlevait sa aussi parfait donc on va prendre un deuxième exemple on va prendre cette fois ci il transforme et donc d'un vecteur pareil dans r2 x1 x2 mais cette fois ci ça va être égal à la première de coordonner au carré et 0 ici et donc la question est de savoir si c'est transformé là et tu sais si cette transformation là est une transformation linéaire donc on va faire comme tout à l'heure mais on va commencer cette fois-ci par le ska l'air tu vas voir pourquoi tout de suite donc qu'est ce que c'est par exemple que c'est de la transformer 2 a donc acheté rappelle assez simplement et bien ce vecteur ici qui est composé des deux composantes à 1 à 2 donc ces deux t2 hass et deux t2 à qu est ce que c est bien c à 1 au carré 0 voilà donc c'est tout simplement et bien c'est à 1 au carré 2 0 maintenant qu'est ce que c'est que la transformer 2 c'est donc la transformer 2 ca c'est tout simplement bien je multiplie ses parts mon vecteur ici donc ça me fait c'est 2 à 1 c'est 2 à 2 et donc qu'est ce que ça donne la transformer deçà et bien ça donne c'est à 1 le taux au carré donc la première composante ici au carré et 0 et donc ça qu'est ce que c'est et bien c'est tout simplement c'est carré à un carré 2 0 et donc ça eh bien c'est c'est carré mais ça tu reconnais tu reconnais cette composante la haca un quart est de zéro c'est t2 a donc cessé car et de tde a donc ce que tu vois ici très important c'est que déjà assez de quantité la sont différentes dans sa caisse que ça nous dit eh bien ça ne dit que eh bien cette transformation latter n'est pas une transformation linéaire n'est pas une transformation linéaire donc voilà il te suffit juste en fait 2 est bien de vérifier ses propriétés là pour savoir si une transformation et linéaire ou pas mais juste à vue d'oeil on peut déjà se douter si une transformation et linéaire ou pas quand c'est une transformation qui associe à un vecteur une combinaison linéaire et bien de ses coordonnées on peut souvent dire que c'est le cas d'une transformation linéaire par contre quand cette transformation la implique des carrés des multiplications et c est bien souvent la transformation sera pas linéaire bien sûr c'est pas automatique mais c'est déjà pour te donner en fait une a priori sur ce que sur ce que tu peux trouver par la suite donc voilà