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Algèbre III

Cours : Algèbre III > Chapitre 11 

Leçon 1: Suites arithmétiques
Mathématiques
Algèbre III
Suites et séries
Suites arithmétiques
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Définir une suite arithmétique par une formule

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Définir une suite arithmétique par une formule explicite ou par une formule de récurrence.
Prérequis : Savoir ce qu'est une suite arithmétique, savoir déterminer l'image d'un nombre par une fonction et savoir déterminer l'ensemble de définition d'une fonction

Pourquoi une formule ?

Dans la leçon précédente les suites traitées étaient données sous la forme :
3,5,7,…
Dans cette leçon nous allons voir comment définir une suite par une formule de récurrence ou par une formule explicite. Dans les deux cas l'intérêt est de disposer d'une formule qui permet de calculer un terme quelconque de la suite.
Si n est un entier naturel supérieur ou égal à 1, on note an le terme de la suite de rang, (ou d'indice) n, c'est-à-dire le ne terme de la suite. Par exemple, pour la suite arithmétique 3,5,7,… :
nan
Rangne terme
13
25
37
On va voir qu'une formule permet de calculer le terme an quelle que soit la valeur de n.

À vous !

1) Les 3 premiers termes d'une suite arithmétique, de premier terme a1, sont 3,5 et 7 Quelle est la valeur de a4?
a4=
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

2) Quel que soit le naturel n≥2, que représente an−1?
Choisissez une seule réponse :

Suite arithmétique définie par une formule de récurrence

La formule de récurrence donne deux informations :
  1. Le premier terme de la suite
  2. La règle qui permet d'obtenir un terme de la suite à partir du terme précédent
La formule de récurrence qui définit la suite 3, 5, 7,... est :
{a1=3←le premier terme est 3an=an−1+2←on ajoute 2 au terme précédent
Pour obtenir a5, on doit calculer tous les termes précédents :
an+1=an+2   si n≥1
a1=3
a2=a1+2=3+2=5
a3=a2+2=5+2=7
a4=a3+2=7+2=9
a5=a4+2=9+2=11
On obtient bien la suite 3, 5, 7, ...

À vous !

Voici trois exercices pour vous entraîner.
On a noté an le terme de rang n de la suite arithmétique 3,5,7,... On peut utiliser d'autres lettres pour désigner les termes d'une suite, par exemple, bn, cn, ou dn.
3) Quelle est la valeur de b4 si la définition de la suite (bn) est : {b1=−5bn+1=bn+9
b4=
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

4) Quelle est la valeur de c3 si la définition de la suite (cn) est : {c1=20cn+1=cn−17
c3=
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

5) Quelle est la valeur de d5 si la définition de la suite (dn) est : {d1=2dn+1=dn+0,4
d5=
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

Suite arithmétique définie par une formule explicite

Une formule explicite qui définit la suite de premier terme a1 et dont les 3 premiers termes sont 3,5 et 7 est :
an=3+2(n−1)
Pour trouver un terme de rang donné i, il suffit de remplacer n par i dans la formule.
Par exemple, pour calculer le cinquième terme, on remplace n par 5 :
a(5)=3+2×(5−1)=3+2×4=3+8=11
On obtient bien la bonne valeur !

À vous !

6) Calculer b10 si le premier terme de la suite (bn) est b1 et si pour tout n≥1, bn=−5+9(n−1).
b10=
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

7) Calculer c8 si le premier terme de la suite (cn) est c1 et si pour tout n≥1, cn=20−17(n−1).
c8=
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

8) Calculer d21 si le premier terme de la suite (dn) est d1 et si pour tout n≥1, dn=2+0,4(n−1).
d21=
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

Les suites sont des fonctions

Une suite est une fonction qui au nombre naturel n fait correspondre un nombre noté an.
n est toujours un entier naturel. n représente le numéro d'ordre d'un terme de la suite, donc il ne peut être ni un nombre négatif, ni un décimal.
Autrement dit, l'ensemble de définition d'une suite est l'ensemble des entiers naturels.

Une remarque à propos de la notation

Pour désigner le 4e terme de la suite, on a utilisé la notation a4, Pour désigner ce terme, vous rencontrerez aussi la notation a(4).
Les deux notations sont possibles. Certains préfèrent la notation a(n) à la notation an car elle met bien en évidence qu'une suite est une fonction.

Une question

9) Quelle est la formule qui permet de trouver le plus rapidement le 100e terme d'une suite arithmétique ?
Choisissez une seule réponse :

Un dernier exercice

10) (un) est une suite arithmétique de premier terme u1. Quel que soit n≥1, un=3−4(n−1).
Quel est le rang du terme de la suite égal à −65?
Rang de ce terme :
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi
.

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