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Cours : Terminale option math expertes > Chapitre 6 

Leçon 3: Opérations sur les matrices

Propriété de distributivité du produit matriciel

Montrer que les produits matriciels sont distributifs. Créé par Sal Khan.

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Transcription de la vidéo

mettons qu'on est trois matrices à b et c et je définis ces matrices tels que à soi de dimension qu'a fois m et b et c soit deux dimensions m x n est ce que je veux savoir réussissent et si le produit matricielle et distributif donc c'est à dire je vais regarder ci a multiplié pas b + c est égal à ab plus assez est donc juste pour être très très clair et bien je vais définir qu'est ce que c'est que b et c est donc bel et bien je peux lire leur représenté par les vecteurs colonnes tels que donc b soit égal à vecteur colonnes b1 b2 et cetera et cetera bnp je peux faire ici la même chose pour c'est donc c'est égal à c'est un c 2 etc et ses terrasses et n donc maintenant eh bien si je calcule cette expression là eh bien je vais avoir à facteur 2 est bien ici il me suffit juste d'additionner les vecteurs colonnes de b et c 1 à 1 donc à l' on dit ça va me faire b un plus c'est un certain ici b de plus ces deux et cetera et cetera bn plus c'est n donc ici bien je me retrouve avec le produit d'une matrice par une autre matrix qui est formé par bss et donc j'applique juste exactement la définition du produit matricielle pourra voir que la première colonne c'est la matrice à x b un plus c'est un la deuxième colonne c'est la matrice à x b2 plus ces deux et c est ca et la colonne nc la matrice a multiplié par des haines plus c est donc est ce que ces produits matricielle là est bien défini et bien pour qu'ils soient définies il faut que le nombre de colonnes de as soit égal au nombre de lignes de b et c donc c'est ici loquace est égal à m donc c'est à dire que j'aurais aucun problème ici à multiplier à part les vecteurs colonnes de blc donc ce produit là est bien défini donc maintenant il ya une chose que je sais c'est que et bien le produit d'une matrice par un vecteur et distributif c'est à dire qu'en fait ça je peux écrire ici que ici c'est la même chose que d'écrire et bien à b1 plus ici donc à bien donc je fais juste à bien plus ah c'est un donc je vais changer de couleur ici à c'est un donc à ses seins donc ici je vais avoir exactement la même chose ici je vais avoir à b2 plus à ces deux et cetera et cetera à bnp plus à ses haines et voile est donc maintenant je vais pouvoir écrire cette grande matrice là comme la somme de deux matrices donc d'un côté je vais avoir tout mais terme en violet c'est à dire que la première colonne de cette première matrice ça va être à bien la deuxième à b2 et cetera et cetera jusqu'à a et b n est ma deuxième matri ça va être assez un as et un plus ha au pardon pas de plus puisque c'est des colonnes donc la première colonne ce sera assez 1 la deuxième ce sera assez d'eux et la dernière ce sera à ses haines voilà mes deux matrices et donc par définition ça qu est ce que c est bien par définition ce que j'ai en violet ici et bien c'est tout simplement à b la multiplication de à la matrice à part la matrice b est ce que j'ai en rose ici ce sera la multiplication et bien de la matrice à part la matrice c'est donc qu'est ce que j'ai ici en fait en somme eh bien j'ai un facteur de b + c est égal à ab plus à c est donc c'est exactement ce que je voulais trouver j'ai montré que et bien le le produit matricielle et distributif au moins dans ce sens là c'est à dire qui les distribuent tiff ici par la gauche et maintenant ce que j'aimerais montrer ses six îles et distributif par la droite c'est à dire que je vais je vais te montrer ce que ce que je vais chercher à montrer maintenant c'est que alors les seront effacés dont maman ce que j'aimerais bien savoir c'est si je prends b + c est que je multiplie pas à est-ce que ça c'est distributif parce que évidemment c'est pas si c'est le cas puisqu'on a vu que tout est tout à leur fin dans une dans des vidéos d'avant que et bien le produit matricielle n'était pas commutatif donc il est possible aussi que ce produit matricielle là ne soit même pas défini et en fait on va voir que c'est vrai on va on voit tout de suite en fait que c'est le cas avec la dans la manière avec laquelle on a défini à b et c est donc maintenant en fait juste pour voir si et bien le produit matricielle et distributif par la droite on va juste changer un petit peu les dimensions de baisser on va prendre b et c de dimensions n fois cas est la raison pour laquelle on fait ça c'est parce que eh bien on veut que le nombre de colonnes et bien deux b et c soit égal au nombre de lignes de à pour pouvoir effectuer ce produit matricielle ici donc on change un petit peu la définition ici d'accord on prend b et c matrix n fois cas et donc on va faire la même chose que tout à l'heure mais un petit peu en accéléré parce que maintenant je pense que tu commences à comprendre comment ça marche donc b plus ces facteurs de à qu'est ce que c'est c'est égal à quoi eh bien c'est égal à b plus c'est facteur 2 à 1 à 2 et cetera et cetera à m d'accord donc ça c'est ma matrice assez les vecteurs colonnes de ma batterie ça et ça eh bien c'est la même chose que d'écrire par définition du produit matricielle b plus c'est 2 à 1 des plus c'est 2 à 2 et cetera et cetera jusqu'à b + c 2 à m de la même manière que tout à l'heure je sais que le produit d'une matrice par un vecteur et distributif dans les dans les deux sens donc c'est à dire que je peux distribué à un de chaque côté ici donc je vais avoir b2 à un plus c'est 2 à 1 ça c'est ma première colonne ma deuxième colonne ça va des 2 à 2 plus c'est 2 à 2 et cetera et cetera jusqu'à la dernière colonne b2 à m plus ces deux à m voilà et donc je peux écrire cette matrice là comme la somme de deux matrices où j'aurai comme était remis six ans b d'un côté et ensuite de l'autre côté mais terme en sait donc on va écrire ça donc je vais avoir d'un côté ba1 ba2 et cetera et cetera jusqu'à dès à m voilà et ensuite plus c'est 2 à 1 c'est à 2 et hans et cetera et cetera c'est à m voilà est par définition ici du produit matricielle cette matrice là en rouge ça ça va être égal à béa et cette matrice là ici en verre ça va être égal à ces a donc au total b plus ces facteurs de à ça va être égal à b à plus c'est a donc qu'est ce que j'ai trouvé ici eh bien j'ai trouvé deux choses j'ai trouvé que le produit matricielle était distributif par la gauche donc ça c'était la première expression que j'ai trouvé au début mais aussi par la droite ça c'est ce que je viens de trouver ici mais attention ça veut pas dire que est bien ici j'ai eu une égalité entre ces deux expressions en fait n'ont cessé ces deux expressions ne sont pas du tout égal ce qu'on a vu dans une vidéo précédente c'était que le produit ce qui a l'air n'était pas commutatif donc c'est très important de retenir que à b est différent de b a donc ici eh bien on a une différence entre un facteur de b + c et b plus ces facteurs de à