La distributivité de la multiplication sur l'addition

Voici $3$3 lignes contenant chacune $6$6 points. C'est une représentation de l'égalité $3 \times 6 = 18$3, times, 6, equals, 18.

Si on dessine une ligne en pointillés qui divise ces points en deux groupes, le nombre total de points ne change pas.

Le groupe du haut contient $1$1 ligne de $6$6 points. C'est une représentation du produit $1 \times 6$1, times, 6.

Le groupe du bas contient $2$2 lignes de $6$6 points chacune. C'est une représentation du produit $2 \times 6$2, times, 6.

On a toujours un total de $18$18 points.

La règle mathématique qui permet de décomposer une multiplication s’appelle la distributivité.

Voici cette règle : on ne change pas le résultat d'une multiplication si on réécrit l'un des facteurs sous la forme de la somme de deux nombres.

Quand on connaît la distributivité, on peut calculer un produit en faisant deux multiplications plus simples.

Dans l'exemple avec les points, on a commencé avec $\greenD{3} \times \purpleD{6}$start color #1fab54, 3, end color #1fab54, times, start color #7854ab, 6, end color #7854ab.

On a séparé les $\greenD{3}$start color #1fab54, 3, end color #1fab54 lignes en $\greenD{1 }$start color #1fab54, 1, end color #1fab54 ligne + $\greenD2$start color #1fab54, 2, end color #1fab54 lignes. On peut le faire car $1 + 2 = 3$1, plus, 2, equals, 3.

On utilise la distributivité pour calculer $\greenD{(1 + 2)} \times \purpleD{6}$start color #1fab54, left parenthesis, 1, plus, 2, right parenthesis, end color #1fab54, times, start color #7854ab, 6, end color #7854ab à la place de $\greenD{3} \times \purpleD{6}$start color #1fab54, 3, end color #1fab54, times, start color #7854ab, 6, end color #7854ab.

On distribue le facteur à chacun des termes entre parenthèses, c'est-à-dire qu'il faut multiplier $\purpleD{6}$start color #7854ab, 6, end color #7854ab par $\greenD{1}$start color #1fab54, 1, end color #1fab54 puis par $\greenD{2}$start color #1fab54, 2, end color #1fab54. Le calcul devient :
$(\greenD{1} \times \purpleD{6}) + (\greenD{2} \times \purpleD{6})$left parenthesis, start color #1fab54, 1, end color #1fab54, times, start color #7854ab, 6, end color #7854ab, right parenthesis, plus, left parenthesis, start color #1fab54, 2, end color #1fab54, times, start color #7854ab, 6, end color #7854ab, right parenthesis

On effectue les deux multiplications :
$6 + 12$6, plus, 12

Puis on additionne :
$6 + 12 = 18$6, plus, 12, equals, 18

$\greenD{3} \times \purpleD{6} = 18 ~~$start color #1fab54, 3, end color #1fab54, times, start color #7854ab, 6, end color #7854ab, equals, 18, space, space et
$(\greenD{1 + 2}) \times \purpleD{6} =18$left parenthesis, start color #1fab54, 1, plus, 2, end color #1fab54, right parenthesis, times, start color #7854ab, 6, end color #7854ab, equals, 18

Les nombres comme $1, 2, 5$1, comma, 2, comma, 5 et $10$10 sont faciles à multiplier. En utilisant la distributivité, on peut simplifier une multiplication en les choisissant comme facteurs.

Par exemple, on peut changer $4 \times 12$4, times, 12 en $4 \times (\tealD{10} + \greenC{2})$4, times, left parenthesis, start color #01a995, 10, end color #01a995, plus, start color #74cf70, 2, end color #74cf70, right parenthesis.

À gauche des pointillés, on a représenté $(\tealD{4 \times 10})$left parenthesis, start color #01a995, 4, times, 10, end color #01a995, right parenthesis, et à droite, $(\greenC{4 \times 2})$left parenthesis, start color #74cf70, 4, times, 2, end color #74cf70, right parenthesis.

Donc $4×12$4, ×, 12 est égal à :
$(\tealD{4 \times 10}) + (\greenC{4 \times 2})$left parenthesis, start color #01a995, 4, times, 10, end color #01a995, right parenthesis, plus, left parenthesis, start color #74cf70, 4, times, 2, end color #74cf70, right parenthesis
$= \tealD{40} + \greenC{8}$equals, start color #01a995, 40, end color #01a995, plus, start color #74cf70, 8, end color #74cf70
$=48$equals, 48

Il est plus facile de multiplier par $10$10 et par $2$2 que de multiplier par $12$12. Grâce à la distributivité, on a pu calculer ce produit plus rapidement.

Ces lignes de points représentent le produit $9 \times 4$9, times, 4.

La distributivité est très utile pour multiplier des nombres plus importants. Comment, par exemple, peut-on utiliser la distributivité pour simplifier le calcul $15 \times 8~?$15, times, 8, space, question mark

On commence par décomposer $\blueD{15}$start color #11accd, 15, end color #11accd en $\blueD{10 +5}$start color #11accd, 10, plus, 5, end color #11accd. Puis on distribue le $8$8 à ces deux nombres.