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4e primaire
Cours : 4e primaire > Chapitre 1
Leçon 3: Commutativité, associativité, distributivité- 0 est l'élément neutre de l'addition
- 1 est l'élément neutre de la multiplication - Exemple
- Exercices sur la distributivité
- Propriétés de la multiplication
- Distributivité de la multiplication sur l'addition
- L'addition est commutative
- La multiplication est commutative
- Dans une multiplication, on peut changer l'ordre des facteurs
- Changer l'ordre des facteurs dans un produit
- L'addition est associative
- La multiplication est associative
- Dans une suite de multiplications, on peut grouper ou regrouper les facteurs
- Propriétés de l'addition
- Propriétés de la multiplication
- La distributivité de la multiplication sur l'addition
- La distributivité de la multiplication sur l'addition
- La distributivité de la multiplication sur l'addition (suite)
- Distributivité
- La distributivité de la multiplication sur la soustraction
- Commutativité de la multiplication - Savoirs et savoir-faire
- Associativité de la multiplication - Savoirs et savoir-faire
- Distributivité de la multiplication sur l'addition - Savoirs et savoir-faire
- Factoriser une expression numérique
La distributivité de la multiplication sur l'addition
La propriété qui permet de décomposer une multiplication pour simplifier le calcul.
Décomposer une multiplication
Voici 3 lignes contenant chacune 6 points. C'est une représentation de l'égalité 3, times, 6, equals, 18.
Si on dessine une ligne en pointillés qui divise ces points en deux groupes, le nombre total de points ne change pas.
Le groupe du haut contient 1 ligne de 6 points. C'est une représentation du produit 1, times, 6.
Le groupe du bas contient 2 lignes de 6 points chacune. C'est une représentation du produit 2, times, 6.
On a toujours un total de 18 points.
La distributivité
La règle mathématique qui permet de décomposer une multiplication s’appelle la distributivité.
Voici cette règle : on ne change pas le résultat d'une multiplication si on réécrit l'un des facteurs sous la forme de la somme de deux nombres.
Quand on connaît la distributivité, on peut calculer un produit en faisant deux multiplications plus simples.
Dans l'exemple avec les points, on a commencé avec start color #1fab54, 3, end color #1fab54, times, start color #7854ab, 6, end color #7854ab.
On a séparé les start color #1fab54, 3, end color #1fab54 lignes en start color #1fab54, 1, end color #1fab54 ligne + start color #1fab54, 2, end color #1fab54 lignes. On peut le faire car 1, plus, 2, equals, 3.
On utilise la distributivité pour calculer start color #1fab54, left parenthesis, 1, plus, 2, right parenthesis, end color #1fab54, times, start color #7854ab, 6, end color #7854ab à la place de start color #1fab54, 3, end color #1fab54, times, start color #7854ab, 6, end color #7854ab.
On distribue le facteur à chacun des termes entre parenthèses, c'est-à-dire qu'il faut multiplier start color #7854ab, 6, end color #7854ab par start color #1fab54, 1, end color #1fab54 puis par start color #1fab54, 2, end color #1fab54. Le calcul devient :
left parenthesis, start color #1fab54, 1, end color #1fab54, times, start color #7854ab, 6, end color #7854ab, right parenthesis, plus, left parenthesis, start color #1fab54, 2, end color #1fab54, times, start color #7854ab, 6, end color #7854ab, right parenthesis
left parenthesis, start color #1fab54, 1, end color #1fab54, times, start color #7854ab, 6, end color #7854ab, right parenthesis, plus, left parenthesis, start color #1fab54, 2, end color #1fab54, times, start color #7854ab, 6, end color #7854ab, right parenthesis
On effectue les deux multiplications :
6, plus, 12
6, plus, 12
Puis on additionne :
6, plus, 12, equals, 18
6, plus, 12, equals, 18
start color #1fab54, 3, end color #1fab54, times, start color #7854ab, 6, end color #7854ab, equals, 18, space, space et
left parenthesis, start color #1fab54, 1, plus, 2, end color #1fab54, right parenthesis, times, start color #7854ab, 6, end color #7854ab, equals, 18
left parenthesis, start color #1fab54, 1, plus, 2, end color #1fab54, right parenthesis, times, start color #7854ab, 6, end color #7854ab, equals, 18
Petits nombres
Les nombres comme 1, comma, 2, comma, 5 et 10 sont faciles à multiplier. En utilisant la distributivité, on peut simplifier une multiplication en les choisissant comme facteurs.
Par exemple, on peut changer 4, times, 12 en 4, times, left parenthesis, start color #01a995, 10, end color #01a995, plus, start color #74cf70, 2, end color #74cf70, right parenthesis.
À gauche des pointillés, on a représenté left parenthesis, start color #01a995, 4, times, 10, end color #01a995, right parenthesis,
et à droite, left parenthesis, start color #74cf70, 4, times, 2, end color #74cf70, right parenthesis.
Donc 4, ×, 12 est égal à :
left parenthesis, start color #01a995, 4, times, 10, end color #01a995, right parenthesis, plus, left parenthesis, start color #74cf70, 4, times, 2, end color #74cf70, right parenthesis
equals, start color #01a995, 40, end color #01a995, plus, start color #74cf70, 8, end color #74cf70
equals, 48
left parenthesis, start color #01a995, 4, times, 10, end color #01a995, right parenthesis, plus, left parenthesis, start color #74cf70, 4, times, 2, end color #74cf70, right parenthesis
equals, start color #01a995, 40, end color #01a995, plus, start color #74cf70, 8, end color #74cf70
equals, 48
Il est plus facile de multiplier par 10 et par 2 que de multiplier par 12. Grâce à la distributivité, on a pu calculer ce produit plus rapidement.
Exercice 2
Ces lignes de points représentent le produit 9, times, 4.
Deux autres exercices
Travailler avec de plus grands nombres
La distributivité est très utile pour multiplier des nombres plus importants. Comment, par exemple, peut-on utiliser la distributivité pour simplifier le calcul 15, times, 8, space, question mark
On commence par décomposer start color #11accd, 15, end color #11accd en start color #11accd, 10, plus, 5, end color #11accd. Puis on distribue le 8 à ces deux nombres.
start color #11accd, 15, end color #11accd, times, 8, equals, left parenthesis, start color #11accd, 10, end color #11accd, times, 8, right parenthesis, plus, left parenthesis, start color #11accd, 5, end color #11accd, times, 8, right parenthesis
empty spaceequals, space80, plus, 40
empty spaceequals, space120
empty spaceequals, space80, plus, 40
empty spaceequals, space120
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