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La distributivité de la multiplication sur l'addition

La propriété qui permet de décomposer une multiplication pour simplifier le calcul.

Décomposer une multiplication

Voici 3 lignes contenant chacune 6 points. C'est une représentation de l'égalité 3, times, 6, equals, 18.
Si on dessine une ligne en pointillés qui divise ces points en deux groupes, le nombre total de points ne change pas.
Le groupe du haut contient 1 ligne de 6 points. C'est une représentation du produit 1, times, 6.
Le groupe du bas contient 2 lignes de 6 points chacune. C'est une représentation du produit 2, times, 6.
On a toujours un total de 18 points.

La distributivité

La règle mathématique qui permet de décomposer une multiplication s’appelle la distributivité.
Voici cette règle : on ne change pas le résultat d'une multiplication si on réécrit l'un des facteurs sous la forme de la somme de deux nombres.
Quand on connaît la distributivité, on peut calculer un produit en faisant deux multiplications plus simples.
Dans l'exemple avec les points, on a commencé avec start color #1fab54, 3, end color #1fab54, times, start color #7854ab, 6, end color #7854ab.
On a séparé les start color #1fab54, 3, end color #1fab54 lignes en start color #1fab54, 1, end color #1fab54 ligne + start color #1fab54, 2, end color #1fab54 lignes. On peut le faire car 1, plus, 2, equals, 3.
On utilise la distributivité pour calculer start color #1fab54, left parenthesis, 1, plus, 2, right parenthesis, end color #1fab54, times, start color #7854ab, 6, end color #7854ab à la place de start color #1fab54, 3, end color #1fab54, times, start color #7854ab, 6, end color #7854ab.
On distribue le facteur à chacun des termes entre parenthèses, c'est-à-dire qu'il faut multiplier start color #7854ab, 6, end color #7854ab par start color #1fab54, 1, end color #1fab54 puis par start color #1fab54, 2, end color #1fab54. Le calcul devient :
left parenthesis, start color #1fab54, 1, end color #1fab54, times, start color #7854ab, 6, end color #7854ab, right parenthesis, plus, left parenthesis, start color #1fab54, 2, end color #1fab54, times, start color #7854ab, 6, end color #7854ab, right parenthesis
On effectue les deux multiplications :
6, plus, 12
Puis on additionne :
6, plus, 12, equals, 18
start color #1fab54, 3, end color #1fab54, times, start color #7854ab, 6, end color #7854ab, equals, 18, space, space et
left parenthesis, start color #1fab54, 1, plus, 2, end color #1fab54, right parenthesis, times, start color #7854ab, 6, end color #7854ab, equals, 18
Exercice 1
Quels produits sont égaux à 4, times, 9, space, question mark
Choisissez toutes les réponses possibles :

Petits nombres

Les nombres comme 1, comma, 2, comma, 5 et 10 sont faciles à multiplier. En utilisant la distributivité, on peut simplifier une multiplication en les choisissant comme facteurs.
Par exemple, on peut changer 4, times, 12 en 4, times, left parenthesis, start color #01a995, 10, end color #01a995, plus, start color #74cf70, 2, end color #74cf70, right parenthesis.
À gauche des pointillés, on a représenté left parenthesis, start color #01a995, 4, times, 10, end color #01a995, right parenthesis, et à droite, left parenthesis, start color #74cf70, 4, times, 2, end color #74cf70, right parenthesis.
Donc 4, ×, 12 est égal à :
left parenthesis, start color #01a995, 4, times, 10, end color #01a995, right parenthesis, plus, left parenthesis, start color #74cf70, 4, times, 2, end color #74cf70, right parenthesis
equals, start color #01a995, 40, end color #01a995, plus, start color #74cf70, 8, end color #74cf70
equals, 48
Il est plus facile de multiplier par 10 et par 2 que de multiplier par 12. Grâce à la distributivité, on a pu calculer ce produit plus rapidement.

Exercice 2

Ces lignes de points représentent le produit 9, times, 4.
Exercice 2, partie A
Quelle expression représente les points au-dessus de la ligne en pointillés ?
Choisissez une seule réponse :

Exercice 2, partie B
Quelle expression représente les points au-dessous de la ligne en pointillés ?
Choisissez une seule réponse :

Exercice 2, partie C
left parenthesis, 5, times, 4, right parenthesis
left parenthesis, 4, times, 4, right parenthesis, equals, start text, space, n, o, m, b, r, e, space, t, o, t, a, l, space, d, e, space, p, o, i, n, t, s, end text

Deux autres exercices

Exercice 3A
  • Actuelle
Les points représentent 3, times, 8.
Quelle expression peut-on utiliser pour calculer le nombre total de points ?
Choisissez une seule réponse :

Travailler avec de plus grands nombres

La distributivité est très utile pour multiplier des nombres plus importants. Comment, par exemple, peut-on utiliser la distributivité pour simplifier le calcul 15, times, 8, space, question mark
On commence par décomposer start color #11accd, 15, end color #11accd en start color #11accd, 10, plus, 5, end color #11accd. Puis on distribue le 8 à ces deux nombres.
start color #11accd, 15, end color #11accd, times, 8, equals, left parenthesis, start color #11accd, 10, end color #11accd, times, 8, right parenthesis, plus, left parenthesis, start color #11accd, 5, end color #11accd, times, 8, right parenthesis
empty spaceequals, space80, plus, 40
empty spaceequals, space120
Exercice 4
Compléter :
start color #11accd, 18, end color #11accd, times, 3, equals, left parenthesis, start color #11accd, 10, end color #11accd, times, 3, right parenthesis, plus, left parenthesis, space
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
times, 3, right parenthesis
empty space, equals, space, 30, plus
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
empty space, equals, space
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

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