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Cours : Terminale spécialité math > Chapitre 5
Leçon 3: Applications de la dérivation- Ordonnée à l'origine d'une tangente à la courbe de la fonction inverse
- Équation d'une tangente à la courbe représentative d'une fonction
- Distance parcourue par une particule
- Analyse graphique du mouvement d'une particule
- Mouvement d'une particule
- Mouvement d'une particule dans le plan
- Applications de la dérivation
- Les points critiques d'une fonction
- Trouver les extremums locaux d'une fonction (exemple 1)
- Trouver les extremums locaux d'une fonction
- Exemple résolu : trouver les extremums locaux d'une fonction
- Trouver les extremums locaux d'une fonction (exemple 3)
- Maximum ou minimum absolu d'une fonction sur son domaine de définition
- Minimum ou maximum local
- Minimum ou maximum local
- Maximum ou minimum absolu d'une fonction sur son domaine de définition
- Faire le point sur le sens de variation d'une fonction
- Étude de la concavité d'une fonction
- Étude de concavité (exemple)
- Concavité d'une fonction et dérivée seconde
- Concavité d'une fonction
- Calculer la dérivée seconde
- Dérivée seconde - Savoirs et savoir faire
- Calculer la dérivée seconde
- Utiliser la dérivée seconde
- Fonction convexe ou fonction concave - Savoirs et savoir faire
- Points d'inflexion
- Points d'inflexion 1
- Points d'inflexion 2
- Points d'inflexion - Savoirs et savoir-faire
- Déduire des dérivées d'une fonction polynôme l'allure de sa courbe représentative
- Déduire des dérivées d'une fonction ln l'allure de sa courbe représentative
- Convexité d'une fonction et points d'inflexion
- Théorème des accroissements finis
- Le théorème des accroissements finis appliqué à une fonction polynôme
- Théorème des accroissements finis - fonction avec une racine carrée
- Théorème des accroissements finis - Savoirs et savoir-faire
- Une méthode pour détecter les excès de vitesse
- Retour sur le théorème des accroissements finis
- Utiliser le théorème des accroissements finis
Retour sur le théorème des accroissements finis
Le théorème des accroissements finis ne s'applique qu'aux fonctions continues sur [a,b] et dérivables sur ]a,b[. Nous étudions la raison de cette condition et apprenons à appliquer ce théorème.
Voici d'abord un rappel sur le théorème des accroissements finis et ses conditions d'application.
Le théorème et ses conditions d'application
Si est une fonction continue sur et dérivable sur , alors il existe au moins un réel appartenant à tel que soit égal au taux de variation de sur .
Graphiquement, cela signifie qu'il existe un point c où la tangente à la courbe représentative de au point de coordonnées est parallèle à la sécante passant par les points de coordonnées et .
Pour pouvoir appliquer le théorème des accroissements finis sur un intervalle , il faut que soit dérivable sur l'intervalle ouvert et continue sur l'intervalle fermé . Un fonction dérivable sur un intervalle est continue sur cet intervalle, donc cela revient à dire que doit être dérivable sur l'intervalle ouvert et continue an et en .
Donc,
Pour pouvoir appliquer le théorème des accroissements finis sur un intervalle, il faut que la fonction soit dérivable sur l'intervalle, sauf éventuellement en ses bornes, et il faut qu'elle soit continue en ses bornes.
Pourquoi est-il important que la fonction soit dérivable sur l'intervalle, sauf éventuellement en ses bornes ?
Voici un exemple pour le comprendre. Ci-dessous, la courbe représentative d'une fonction . Elle a un point anguleux, donc elle n'est pas dérivable sur l'intervalle .
Cette courbe admet tangentes, mais ni l'une ni l'autre n'est parallèle à la sécante passant par les points de coordonnées et .
Pourquoi est-il nécessaire que la fonction soit continue aux bornes de l'intervalle ?
Soit la courbe de la fonction :
On modifie la fonction . On ne modifie pas la limite à gauche de en : , mais on modifie la valeur de . Cette nouvelle fonction n'est pas continue en .
On voit que la pente de la sécante à la courbe qui passe par les points de coordonnées et est négative. On voit aussi qu'une tangente à la courbe de ne peut être qu'une droite de pente positive. Donc, il n'y a pas de tangente à la courbe de parallèle à cette sécante.
De façon générale, si la fonction n'est pas continue aux bornes de l'intervalle, aucune tangente à la courbe de cette fonction n'est parallèle à la sécante qui passe par les points dont les abscisses sont les bornes de cet intervalle.
Dans cette première série d'exercices, il s'agit d'étudier si on peut appliquer à la fonction le théorème des accroissements finis sur différents intervalles.
Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.
Remarque : Si une fonction ne satisfait pas aux conditions d'application du théorème des accroissements finis sur un intervalle , cela ne signifie pas qu'il n'existe pas tel que .
Une telle valeur de peut exister, mais si les conditions d'application du théorème des accroissements finis ne sont pas satisfaites, son existence n'est pas certaine.
Par exemple, dans le dernier exercice, on ne peut pas appliquer le théorème des accroissements finis sur l'intervalle , et pourtant il y a deux points de cet intervalle où la tangente à la courbe est parallèle à la sécante qui passe par les points de coordonnées et .
Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.
Une erreur fréquente : Ne pas savoir discerner si les conditions d'application du théorème sont satisfaites
On peut prendre l'exemple de l'Exercice 3. D'après le cours, on peut appliquer le théorème des accroissements finis à la fonction sur l'intervalle , à condition de disposer de l'une ou l'autre de ces données :
est dérivable sur l’intervalle ouvert et elle est continue sur l'intervalle fermé . est dérivable sur l’intervalle ouvert et elle est continue en et en .
Mais les données ne sont pas toujours sous cette forme. Par exemple, dans cet exercice, la donnée que est dérivable sur l'intervalle suffisait car si une fonction est dérivable sur un intervalle, elle est continue sur cet intervalle.
Un autre exemple : la donnée aurait pu être, par exemple, " est dérivable sur l'intervalle ouvert ". Dans l'exercice, l'intervalle considéré est l'intervalle . Cette donnée aurait été suffisante car si est dérivable sur l'intervalle , alors elle est dérivable sur l'intervalle , et elle est continue sur l'intervalle .
Une autre erreur fréquente : Confondre les théorèmes
Attention à ne pas confondre le Théorème des valeurs intermédiaires, le Théorème des bornes atteintes et le Théorème des accroissements finis. Leurs structures sont similaires, mais leurs conditions d'application et les points qui sont en jeu différent.
- Le Théorème des valeurs intermédiaires permet d'établir qu'une fonction prend une certaine valeur comprise entre deux autres.
- Le Théorème des bornes atteintes permet d'établir qu'une fonction admet un maximum ou un minimum.
- Le Théorème des accroissements finis permet d'établir que la dérivée prend une certaine valeur.
Chacun de ces théorèmes a un objet différent. Ce n'est pas si difficile de ne pas les confondre.
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